Enunciado

Como o teorema da divergência generaliza o teorema de

Green?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Algumas questões são norteadoras em nossos estudos. Por exemplo, você sabe como o teorema da divergência generaliza o teorema de Green? Vamos à explicação!

Passo 2

Grave bem: o teorema da divergência generaliza o teorema de Green de um plano em uma região bi-dimensional para uma tri-dimensional no espaço. Em cada caso, a integral de ∇ ⋅ F sobre a região interior é igual ao fluxo total do campo por meio da fronteira. Isto é usado posteriormente para criar um teorema fundamental de unificação, descrito na seção 16.8 .

Resposta

Resposta nos passos.

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Calcule ∬ σ u → ⋅ n →d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo: e )B é o paralelepípedo 0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ 1e0 ≤ z ≤ 1 e u → = x 3 i → + y 3 j → + z 3 k → .
Seja F → x , y , z = x y 2 i → + x y zj → + z - y 2 z - 1 2 x z 2 k → e seja σ a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥ 0 , sendo n → a normal com componente z ≥ 0 . Calcule ∬ σ F → ⋅ n →d S .
Seja u → um campo vetorial de classe C 2 num aberto Ω ⊂ R 3 e seja B ⊂ Ω um compacto ao qual o teorema da divergência se aplica. Seja σ a fronteira de B , com normal n → apontando para fora de B . Cal
Calcule ∬ σ u → ⋅ n →d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo: d )B = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 ≤ 1 ,x 2 + y 2 ≤ z ≤ 5 - x 2 - y 2 } e u → = 3 x y i → - 3 2 y 2 j → + z k → .
11. Sejam f, g : Ω ⊂ ℝ3 → ℝ de classe C2 no aberto Ω. Seja B ⊂ Ω uma esfera e seja σ a fronteira de B, com normal exterior . Proveb. ∫ ∫ σ f ∂ g ∂ n d S = ∫ ∫ ∫ B f ∇ 2 g + ∇ f ⋅ ∇ gd V