Enunciado

Seja F → x , y , z = x y 2 i → + x y z   j → + z - y 2 z - 1 2 x z 2 k → e seja σ a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥ 0 , sendo n → a normal com componente z ≥ 0 . Calcule ∬ σ F → ⋅ n →   d S .

Passo 1

Vamos considerar o conjunto B como a semi-esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,   z ≥ 0 .

Temos que σ = x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,   z ≥ 0 e vamos considerar um conjunto σ 1 u , v = u , v ,   0 ,   u 2 + v 2 ≤ 1 .

A fronteira de B coincide com a imagem da cadeia σ ,   σ 1 , daí temos que fazer:

∬ σ F → ⋅ n →   d S + ∬ σ 1 F → ⋅ - k →   d S = ∭ B d i v   F →   d x d y d z

Passo 2

Vamos calcular essa última integral, a do divergente.

O divergente do campo F → é:

d i v   F → = y 2 + x z + 1 - y 2 - x z

d i v   F → = 1

A integral então se resume a:

∭ B 1   d x d y d z

Que é o mesmo que o volume da semi-esfera, ou seja:

∭ B d i v   F →   d x d y d z = 2 3 π

Passo 3

Agora vamos ver essa:

∬ σ 1 F → ⋅ - k →   d S

Como a componente z de σ 1 é zero, temos que essa integral resulta em:

∬ σ 1 F → ⋅ 0   d S = 0

Então, voltando a expressaõ do início:

∬ σ F → ⋅ n →   d S + 0 = 2 3 π

∬ σ F → ⋅ n →   d S = 2 3 π

E pronto!

Resposta

2 3 π

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