Enunciado

O que é o teorema de Stokes? Como se pode interpretá-lo?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Passo 2

A definição do teorema de Stokes é:Seja S uma função suave definida por partes de uma superfície, tendo uma curva que delimita também suave por partes C. Seja F = M i + N j + P k um vetor de campo cujas componentes possuem primeiras derivadas parciais contínuas em uma região aberta contendo S . Então, a circulação F em C na direção anti-horária em relação ao vetor unitário normal n é igual à integral de ∇ × F ⋅ n em S. Ou seja:

∮     C F ⋅ d r = ∬ S   ∇ × F ⋅ n d σ . 

Passo 3

Observe que o teorema de Stokes generaliza o teorema de Green para três dimensões, assim, a ondulação-circulação passa a ser definida tri-dimensionalmente. Veja o exemplo 6 , da seção 16.7, para uma aplicação bem detalhada desse teorema. Bons estudos!

Resposta

Resposta nos passos.

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Calcule o rotacional.vec F (x , y , z) = y z vec i + x z vec j + x y vec k
Sejam u → , v → : Ω ⊂ R 3 → R 3 dois campos vetoriais e φ : Ω → R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre φ ,u → ,v → e prove. (suponha u → = P i → + Q j → + R k →ev → = P 1 i →
Sejam u → , v → : Ω ⊂ R 3 → R 3 dois campos vetoriais e φ : Ω → R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre φ ,u → ,v → e prove. (suponha u → = P i → + Q j → + R k →ev → = P 1 i →
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. a )F → x , y , z = y k → ,σ u , v = u , v , u 2 + v 2 , c o mu 2 + v 2 ≤ 1 , sendo n →
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. e )F → x , y , z = x j → ,σ é a superfície x , y , z ∈ R 30 ≤ z ≤ 1 ,x 2 + y 2 = 1 ,x ≥