Enunciado

Teste de condensação de Cauchy O teste de condensação de Cauchy diz: seja { a n } uma sequência decrescente ( a n ≥ a n + 1 para todo n) de termos positivos que converge para 0. Então ∑ a n converge se, e somente se, ∑ 2 n a 2 n   converge. Por exemplo, ∑ 1 n diverge porque ∑ 2 n   ⋅ 1 2 n = ∑ 1 diverge. Mostre por que esse teste funciona.

Passo 1

Vem comigo nessa demonstração que vamos voar meus amigos e minhas amigas,

Vamos começar supondo dois valores de soma:

A n = ∑ k = 1 n a k e B n = ∑ k = 1 n 2 k a 2 k .

Em que { a k } seja uma sequência não crescente de termos positivos que converge para 0.

Passo 2

Então vamos escrever B n de maneira a associar os termos da sequência para chegar em A n , já que é composta por uma séria não decrescente de termos positivos e por meio da manipulação matemática conseguimos chegar:

B n = 2 a 2 + 4 a 4 + 8 a 8 + … + 2 n a 2 n = 2 a 2 + 2 a 4 + 2 a 4 + 2 a 8 + 2 a 8 + 2 a 8 + 2 a 8 + …

+ 2 a 2 n + 2 a 2 n + … + 2 a 2 n ≤ 2 a 1 + 2 a 2 + 2 a 3 + 2 a 4 + …

+ 2 a 2 n - 1 + 2 a 2 n - 1 + 1 + … 2 a 2 n = 2 A 2 n ≤ 2 ∑ k = 1 ∞ a k

Passo 3

Portanto, como sabemos que o somatório de a k converge, e B n é limitado por este somatório, isso implica que ∑ 2 k a 2 k converge.

Resposta

Demonstração

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