Enunciado

Traçar o gráfico das funções trigonométricas. Comparar cada conjunto identificando a transformação ocorrida. Identificar domínio, conjunto imagem, máximos e mínimos, crescimento e decrescimento.

e) f x = s e n   x ,   g x = - s e n   x

Passo 1

Então pessoal, de início vamos plotar o gráfico das funções f e g que nos foram dadas, tudo bem? A f é uma função seno bem conhecida, a g é a mesma função, mas refletida em torno do eixo x devido ao sinal de negativo. Para confirmarmos:

No qual a função em verde é f x = s e n   x ;

A função em azul é f x = - s e n   x .

Passo 2

Para facilitar a nossa análise, como são vários pontos para analisar vamos pontuar um de cada vez, tudo bem? Algo muuuuito importante de ser ressaltado aqui, galera, é que os resultados para f sempre serão opostos aos de g , também devido ao sinal negativo. Em outras palavras, o mínimo de f será o máximo de g , o intervalo de crescimento de f será o intervalo de decrescimento de g e assim por diante. Para confirmar:

  • Transformações ocorridas:
  • Assim como já descrito no passo 1 , de f para g houve uma reflexão em torno do eixo x devido ao sinal negativo que aparece na função g !

  • Domínio:
  • Então pessoal, para a variável independente x que temos não há nenhuma restrição, x pode assumir qualquer valor, seja em f ou em g , logo:

    D f = D g = R

  • Imagem:
  • A imagem da função seno é bem conhecida, assim como as imagens das funções cosseno e tangente, uma vez que são bem limitadas! Sabemos que as funções seno e cosseno possuem a mesma imagem, são funções que variam de - 1 a 1 , não é mesmo? Sendo assim, teremos:

    I f = I g = [ - 1 ,   1 ]

    Passo 3

    Agora vamos determinar os máximos e mínimos e os intervalos de crescimento e decrescimento das funções:

  • Máximos:
  • A função seno é máxima quando vale 1 , não é mesmo? Isso acontece em π 2 para f e em 3 π 2 para g , logo:

    f x : π 2 + 2 k π

    g x : 3 π 2 + 2 k π

  • Mínimos:
  • Assim como comentado no passo 2 , as funções são opostas, então teremos que os pontos de mínimo de f serão os pontos de máximo de g e vice-versa, se liga:

    f x :   3 π 2 + 2 k π

    g x :   π 2 + 2 k π

  • Intervalos de crescimento:
  • Os intervalos de crescimento ocorrem quando a função está atingindo seu ponto de máximo, que no caso da nossa função é em 1 . Sendo assim, os intervalos serão em:

    f x : - π 2 + 2 k π , π 2 + 2 k π

    g x : π 2 + 2 k π , 3 π 2 + 2 k π

  • Intervalos de decrescimento:

Assim como comentado no passo 2 , as funções são opostas, então teremos que os intervalos de decrescimento de f serão os intervalos de crescimento de g e vice-versa, saca só:

f x : π 2 + 2 k π , 3 π 2 + 2 k π

g x : - π 2 + 2 k π , π 2 + 2 k π

Aqui vale ressaltar que k é uma constante inteira, tudo bem? Foi demorado, mas está aí nossa análise completa! 😊

Resposta

Domínio e imagem:

D f = D g = R

I f = I g = - 1 ,   1

Máximos e mínimos:

f x : π 2 + 2 k π

g x : 3 π 2 + 2 k π

f x : π 2 + 2 k π

g x : 3 π 2 + 2 k π

Intervalos de crescimento e decrescimento:

f x : - π 2 + 2 k π , π 2 + 2 k π

g x : π 2 + 2 k π , 3 π 2 + 2 k π

f x : π 2 + 2 k π , 3 π 2 + 2 k π

g x : - π 2 + 2 k π , π 2 + 2 k π

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