Enunciado

Trace o gráfico de uma função   y = f x que satisfaça as condições dadas.

f 2 = 1 , f - 1 = 0 , lim x → ∞ ⁡ f x = 0 ,   l i m x → 0 + f x = ∞ , l i m x → 0 - f x = - ∞ e l i m x → - ∞ f x = 1

Passo 1

O primeiro passo é olhar o tipo de resposta que o limite apresenta, ou seja, se zero, um número ou . Com isso, nós podemos ver qual tipo de função se encaixa melhor para cada caso.

Na questão temos que, l i m x → ∞ f x = 0 e lim x → - ∞ ⁡ f x = ∞ , isso significa teremos que avaliar cada um desses limites.

Quando l i m x → ∞ f x = 0 observamos uma divisão de polinômios de mesmo grau, onde o grau do polinômio de baixo fosse maior que grau o do polinômio de cima seria uma boa, já que nesses casos, quando x → ∞ o limite dará 0 . Veja no exemplo abaixo:

lim x → ± ∞ ⁡ 2 x 2 + 5 x + 7 x 3 - 8 x = lim x → ± ∞ ⁡ 2 x 2 x 3 + 5 x x 3 + 7 x 3 x 3 x 3 - 8 x x 3 =     lim x → ± ∞ ⁡ 2 x + 5 x 2 + 7 x 3 1   - 8 x 2

=   l i m x → ± ∞ 2 x + 5 x 2 + 7 x 3 l i m x → ± ∞ 1 - 8 x 2 =   l i m x → ± ∞ 2 x +   l i m x → ± ∞ 5 x 2 +   l i m x → ± ∞ 7 x 3 l i m x → ± ∞ 1 -   l i m x → ± ∞ 8 x 3 = 0 +   0 + 0 1 - 0 = 0 1 = 0 .

Já quando lim x → - ∞ ⁡ f x = 1 parece que uma divisão de polinômios de mesmo grau , seria uma boa, já que nesses casos, quando x → ± ∞ o limite dará ± ∞ . Veja no exemplo abaixo:

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 3 x 2 - 2 = lim x → ∞ ⁡ x 2 x 2 + 3 x 2 x 2 x 2 - 2 x 2 =     lim x → ∞ ⁡ x 2 x 2 + 3 x 2 1     - 2 x 2

=   l i m x → ∞ 1 + 3 x 2 l i m x → ∞ 1 - 2 x 2 =   l i m x → ∞ 1 +   l i m x → ∞ 3 x 2 l i m x → ∞ 1 - l i m x → ∞ 2 x 2 = 1 +   0 1 - 0 = 1 1 = 1 .

Isso significa que f ( x ) terá que ser definida de duas maneiras.

Passo 2

O segundo passo é perceber que o limite dessa função assume valores diferentes quando x → 0 -   e quando x → 0 + ,ou seja, quando x < 0 os valores de f x   vão diminuindo, já quando x > 0   esses valores vão aumentando. Então para simplificar as coisas vamos separar o problema em duas partes, ou seja, vamos imaginar a cara da função quando x > 0   e quando x < 0 .

Lembrando que quando, x < 0 , f x   deve uma divisão de polinômios de mesmo grau, onde o grau do polinômio de baixo fosse maior que grau o do polinômio de cima pelo que vimos no Passo 1, sendo assim a cara de f x   pode ser da forma:

f x = x + 1 x

O que é TOP pois,

l i m x → - ∞ f x =   l i m x → - ∞ x + 1 x =   l i m x → - ∞   x x + 1 x x x   = l i m x → - ∞ 1 - l i m x → - ∞ 1 x l i m x → - ∞ 1 = 1 - 0 1 = 1 1 = 1 .  

E,

l i m x → 0 - f x =   l i m x → 0 - x + 1 x = 0 + 1 0 = 1 0 = - ∞ .

Além disso,

f - 1 = - 1 + 1 - 1 = 0 .

Agora, quando x > 0 , f x   deve uma divisão de polinômios de mesmo grau, onde o grau do polinômio de baixo fosse menor que grau o do polinômio de cima pelo que vimos no Passo 1, sendo assim a cara de f x   pode ser da forma:

f ( x ) = x + 2 x 2

O que é TOP pois,

l i m x → ∞ f x =   l i m x → ∞ x + 2 x 2 =   l i m x → ∞   x x 2 + 2 x 2 x 2 x 2   = l i m x → ∞ 1 x + l i m x → ∞ 2 x 2 l i m x → ∞ 1 = 0 + 0 1 = 0 1 = 0 .  

E,

l i m x → 0 + f x =   l i m x → 0 + x + 2 x 2 = 0 + 2 0 = 2 0 = ∞ .

Além disso,

f 2 = 2 + 2 2 2 = 4 4 = 1 .

E portanto,

f x = x + 1 x , s e     x < 0 x + 2 x 2 ,     x > 0

Resposta

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Ache o limite lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 2 x + 5 7 x 3 + x + 1
Ache o limite lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 4 x + 4
Ache o limite lim x → + ∞ ⁡ 3 x 4 - 7 x 2 + 2 2 x 4 + 1
Use uma calculadora para tabular os valores de f x para valores fixados de x . f x = - 3 x 2 x 2 + 1 x é 0,1 , 2,4 , 6,8 , 10,100,1000 e x é - 1 , - 2 , - 4 , - 6 , - 8 , - 10 , - 100 , - 1000 . a ) D
Use uma calculadora para tabular os valores de f x para valores fixados de x . f x = 4 x 2 x é 1,2 , 4,6 , 8,10,100,1000 e x é - 1 , - 2 , - 4 , - 6 , - 8 , - 10 , - 100 , - 1000 . a ) Do que f x pare