Enunciado

Transforme a equação dada em um sistema de equações de primeira ordem:

u ( 4 ) - u = 0

Passo 1

Vamos começar esclarecendo o que é um sistema de primeira ordem. Tudo bem?

Um sistema de equações de primeira ordem é um sistema que depende apenas da primeira derivada de uma função. Como você pode ver a nossa equação depende da quarta derivada de u ( t ) , então é uma equação de quarta ordem. Então, o que iremos fazer é tentar transformar esta equação em um sistema de equações que dependam apenas da primeira derivada de uma função. Vamos lá???

Passo 2

Vamos começar definindo quatro novas funções:

x 1 t = u ( t )

x 2 t = u ' ( t )

x 3 t = u ' ' ( t )

x 4 t = u ' ' ' ( t )

Então nossa equação fica:

u ( 4 ) - u = 0

u ' ' ' ' - u = 0

x 4 ' - x 1 = 0

Passo 3

Legal. Chegamos à primeira equação do sistema. Mas como você pode ver agora temos quatro variáveis, então para chegar à solução do sistema precisamos definir mais três equações.

Nós definimos que:

x 1 t = u ( t )

x 2 t = u ' ( t )

Então x 2 pode ser escrito como:

x 2 t = x 1 ' ( t )

Analogamente:

x 2 t = u ' ( t )

x 3 t = u ' ' t = u ' ' t = x 2 '

E

x 3 t = u ' ' t

x 4 t = u ' ' ' t = u ' ' ' t = x 3 '

E o nosso sistema de equações de primeira ordem fica:

x 2 t - x 1 ' t = 0 x 3 t - x 2 ' t = 0 x 4 t - x 3 ' t = 0 x 4 ' - x 1 = 0

Resposta

O sistema de equações é:

x 2 t - x 1 ' t = 0 x 3 t - x 2 ' t = 0 x 4 t - x 3 ' t = 0 x 4 ' - x 1 = 0

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