Enunciado

Transforme a equação dada em um sistema de equações de primeira ordem:

u ' ' + 0,5 u ' + 2 u = 0

Passo 1

Vamos começar esclarecendo o que é um sistema de primeira ordem. Tudo bem?

Um sistema de equações de primeira ordem é um sistema que depende apenas da primeira derivada de uma função. Como você pode ver a nossa equação depende da segunda derivada de u ( t ) , então é uma equação de segunda ordem. Então, o que iremos fazer é tentar transformar esta equação em um sistema de equações que dependam apenas da primeira derivada de uma função. Vamos lá???

Passo 2

Vamos começar definindo duas novas funções:

x 1 t = u ( t )

x 2 t = u ' ( t )

Então nossa equação fica:

u ' ' + 0,5 u ' + 2 u = 0

u ' ' + 0,5 u ' + 2 u = 0

x 2 ' + 0,5 x 2 + 2 x 1 = 0

Passo 3

Legal. Chegamos à primeira equação do sistema. Mas como você pode ver agora a equação tem duas variáveis, então para chegar à solução do sistema precisamos definir mais uma equação.

Nós definimos que:

x 1 t = u ( t )

x 2 t = u ' ( t )

Então x 2 pode ser escrito como:

x 2 t = x 1 ' ( t )

E o nosso sistema de equações de primeira ordem é:

x 2 t - x 1 ' t = 0 x 2 ' + 0,5 x 2 + 2 x 1 = 0

Resposta

O sistema de equações é:

x 2 t - x 1 ' t = 0 x 2 ' + 0,5 x 2 + 2 x 1 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Transforme a equação dada em um sistema de equações de primeira ordem: u ' ' + 0,5 u ' + 2 u = 3 s e n ( t )
Transforme o problema de valor inicial dado em um problema de valor inicial para duas equações de primeira ordem: u ' ' + 0,25 u ' + 4 u = 2 cos ⁡ 3 t ; u 0 = 1eu ' 0 = - 2
Transforme a equação dada em um sistema de equações de primeira ordem: t 2 u ' ' + t u ' + ( t 2 - 0,25 ) u = 0
Transforme a equação dada em um sistema de equações de primeira ordem: u ( 4 ) - u = 0
Transforme o problema de valor inicial dado em um problema de valor inicial para duas equações de primeira ordem: u ' ' + p t u ' + q t u = g t ; u 0 = u 0eu ' 0 = u 0 '