Enunciado

Três vértices consecutivos de um paralelogramo são (-4, 1), (2, 3) e (8, 9). Ache as coordenadas do quarto vértice.

Passo 1

Nomearemos os pontos como A(-4, 1), B(2, 3) e C(8, 9). Em seguida, vamos determinar a inclinação dos segmentos que unem esses pontos.

Inclinação do segmento AB:

m A B = 3 - 1 2 - - 4 ⇒

m A B = 3 - 1 2 + 4 ⇒

m A B = 2 6 ⇒

m A B = 1 3

Inclinação do segmento BC:

m B C = 9 - 3 8 - 2 ⇒

m B C = 6 6 ⇒

m B C = 1

Passo 2

Queremos encontrar o ponto D(x ,y) de forma que o segmento CD seja paralelo ao AB e o segmento AD seja paralelo ao BC. A inclinação do segmento CD é dada por:

m C D = y - 9 x - 8

E a inclinação do segmento AD é dada por:

m A D = y - 1 x - ( - 4 ) ⇒

m A D = y - 1 x + 4

Para que CD seja paralelo a AB é preciso que m C D = m A B . Assim

m C D = m A B ⇒

y - 9 x - 8 = 1 3 ⇒

3 y - 27 = x - 8 ⇒

3 y - 27 + 8 = x ⇒

3 y - 19 = x ⇒

x = 3 y - 19 (1)

Para que AD seja paralelo a BC é preciso que m A D = m B C . Assim

m A D = m B C ⇒

y - 1 x + 4 = 1 ⇒

y - 1 = x + 4 ⇒

y - 1 - 4 = x ⇒

y - 5 = x ⇒

x = y - 5 (2)

Passo 3

Juntando as equações (1) e (2) temos

3 y - 19 = y - 5 ⇒

3 y - y = - 5 + 19 ⇒

2 y = 14 ⇒

y = 14 2 ⇒

y = 7

Substituindo este valor de y em (1) temos

x = 3 7 - 19 ⇒

x = 21 - 19 ⇒

x = 2

Resposta

Portanto, o quarto ponto do paralelogramo é (2, 7).

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6. Determinar as equações reduzidas, com variável independente x , da reta que passa pelo ponto A 4,0 , - 3 e tem direção do vetor v = 2 i + 4 j + 5 k .
7. Estabelecer as equações reduzidas (variável independente x ) da reta determinada pelos pares de pontos:a) A ( 1 , - 2 , , 3 ) e B 3 , - 1 , - 1 b) A - 1,2 , 3 e B 2 , - 1,3
7. Estabelecer as equações reduzidas (variável independente x ) da reta determinada pelos pares de pontos:a) A ( 1,2 , , 3 ) e B 3 , - 1 , - 1 b) A - 1,2 , 3 e B 2 , - 1,3
2. Determinar o ponto da reta r : x = 2 - t y = 3 + t z = 1 - 2 t Que tem absissa 4.
1. Verificar se os pontos P 1 5 , - 5,6 e P 2 4 , - 1,12 pertencem à reta r : x - 3 - 1 = y + 1 2 = z - 2 - 2