Enunciado

Num triângulo, o ponto de intersecção das medianas, das alturas e o centro da circunferência circunscrita são colineares. Ache esses três pontos e comprove que eles são colineares no triângulo com vértices (2,8), (5,-1) e (6,6).

Passo 1

O enunciado do problema nos pede para traçar três pontos distintos: o de intersecção das medianas (G), intersecção das alturas (O) e o ponto que coincide com o centro da circunferência circunscrita ao triângulo (H). Uma vez descobertos os pontos G, O e H devemos provar que são colineares, ou seja, fazem parte de uma mesma reta.

Para começar vamos ilustrar o triângulo cujos vértices são A (2,8), B (5,-1) e C (6,6).

Obtido o triângulo precisamos obter os três pontos.

Passo 2

Para obter o ponto G, intersecção das medianas, precisamos saber que a mediana é um segmento de reta que liga um vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto:

O ponto G também é chamado de baricentro e pode ser calculado como a média dos vértices, ou seja:

x G = x A + x B + x C 3 =   2 + 6 + 5 3 = 13 3

y G = y A + y B + y C 3 =   8 + 6 - 1 3 = 13 3

Então:

G   ( 13 3 , 13 3 )

O segundo ponto, O, é o encontro das alturas do triângulo. As alturas ligam os vértices à linha suporte do lado oposto fazendo um ângulo de 90°. Como o triângulo é obtusângulo, um ângulo maior que 90° (C), as alturas de dois vértices são externas e, consequentemente, o ponto O. Sendo assim, devemos prolongar as retas suportes para que o ângulo reto seja atingido e as medianas possam ser desenhadas:

A intersecção das alturas é denominada ortocentro, e para achá-lo precisamos descobrir as inclinações de pelo menos duas retas suportes. Vou optar pelas retas AC e BC.

Reta AC: passa pelos pontos A (2,8) e C (6,6). Com os pontos e a equação geral da reta podemos descobrir a inclinação:

y A - y C = m A C ( x A - x c )

Substituindo:

8 - 6 = m A C ( 2 - 6 )

m A C = - 1 2

Reta BC: passa pelos pontos B (5,-1) e C (6,6). Com os pontos e a equação geral da reta podemos descobrir a inclinação:

y B - y C = m B C ( x B - x c )

Substituindo:

- 1 - 6 = m B C ( 5 - 6 )

m B C = 7

Agora precisamos saber que para duas retas serem perpendiculares entre si, o coeficiente angular deve ser o oposto do inverso da outra. Como as alturas são perpendiculares às retas suportes podemos calcular sua inclinação.

Altura BO: é perpendicular a reta suporte AC:

m B O = - 1 m A C = 2

Como a altura passa pelo ponto B a equação é:

y - y B = m B O ( x - x B )

y + 1 = 2 ( x - 5 )

y = 2 x - 11

Altura AO: é perpendicular a reta suporte BC:

m A O = - 1 m B C = - 1 7

Como a altura passa pelo ponto A a equação é:

y - y A = m A O ( x - x A )

y - 8 = - 1 7 ( x - 2 )

y = - x 7 + 58 7

Como o ponto é comum às duas alturas temos a certeza de que, para ele, os valores de y devem ser iguais:

2 x - 11 = - x 7 + 58 7

2 x + x 7 = 11 + 58 7

x = 9

Substituindo o x em qualquer equação:

y = 2.9 - 11

y = 7

Então:

O   ( 9,7 )

O último ponto, H, o centro da circunferência circunscrita. Precisamos saber que a circunferência para ser circunscrita deve passar pelos três vértices do triângulo:

Para calcular as coordenadas do ponto H ( x ,   y ), também chamado de circuncentro, devemos observar que os três pontos dados (A, B e C) estão à mesma distância do centro H. Isso porque a distância do centro até qualquer ponto da circunferência é igual ao raio.

Sabendo que a fórmula para a distância entre dois pontos é:

d ² = x - x c 2 + y - y c 2

Então:

x - 2 2 + y - 8 2 = x - 5 2 + y + 1 2 = x - 6 2 + y - 6 2

Onde:

x - 2 2 + y - 8 2 = x - 5 2 + y + 1 2           ( I )

x - 5 2 + y + 1 2 = x - 6 2 + y - 6 2       ( I I )

Em ( I ) :

x ² - 4 x + 4 + y 2 - 16 y + 64 = x 2 - 10 x + 25 + y 2 + 2 y + 1

x = 3 y - 7

Em ( I I ) :

x 2 - 10 x + 25 + y 2 + 2 y + 1 = x 2 - 12 x + 36 + y 2 - 12 y + 36

x = - 7 y + 23

Resolvendo:

3 y - 7 = - 7 y + 23

y = 3

Para x:

x = 3.3 - 7

x = 2

Então:

H   ( 2,3 )

Descobertos os três pontos, precisamos saber se são colineares.

Passo 3

Para definir se são colineares podemos definir a inclinação da reta entre GO e OH. Como temos o ponto O comum às duas retas, se a inclinação for igual poderemos afirmar a colinearidade.

Sabendo que:

G   ( 13 3 , 13 3 )

O   ( 9,7 )

H   ( 2,3 )

Para a reta GO:

y G - y O = m G O ( x G - x O )

13 3 - 7 = m G O ( 13 3 - 9 )

m G O = 4 7

Para a reta OH:

y H - y O = m H O ( x H - x O )

3 - 7 = m H O ( 2 - 9 )

m H O = 4 7

Sendo assim, os três pontos são colineares.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Estabeleça uma propriedade geométrica comum a todas as retas da família e esboce cinco dessas retas.(a) a família y = b (b) a família A x + 2 y + 1 = 0 (c) a família 2 x + B y + 1 = 0 (d) a família y
Em cada parte, combine a equação com um dos gráficos dados.(a) y = x 5 (b) y = 2 x 5 (c) y = - 1 x 8 (d) y = x 2 - 1 (e) y = x - 2 4 (f) y = - x 2 5
A tabela abaixo dá valores aproximados de três funções: uma da forma k x 2 , outra da forma k x - 3 e a terceira da forma k x 3 2 . Identifique cada uma e dê uma estimativa de k em cada caso.
Esboce o gráfico da equação para n=1,3 e 5 em um sistema de coordenadas e para n=2, 4, e 6 em outro sistema de coordenadas. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.(a) y = - x n (b) y = 2 x - n (c
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