Enunciado

Usando o método de redução de ordem, mostre que, se r 1 for uma raiz repetida de

r ( r - 1 ) + α r + β = 0 ,

então x r 1 e x r 1 serão soluções de x 2 y ' ' + α x y ' + β y = 0 para x > 0 .

Passo 1

Fala Galera!!

Para resolver essa questão, vamos considerar a seguinte equação diferencial:

x 2 y ' ' + α x y ' + β y = 0

Podemos supor que y = x r 1 seja solução da equação diferencial.

Passo 2

Pela suposição feita no passo anterior, precisamos encontrar y ' e y ' ' para substituir na equação. Temos que:

y ' = r 1 x r 1 - 1

Então

y ' ' = r 1 r 1 - 1 x r 1 - 2

Substituindo na equação diferencial, temos a seguinte expressão:

x 2 r 1 r 1 - 1 x r 1 - 2 + α x r 1 x r 1 - 1 + β x r 1 = 0

Simplificando

r 1 r 1 - 1 x r 1 + α r 1 x r 1 + β x r 1 = 0

x r 1 r 1 r 1 - 1 + α r 1 + β = 0

x r 1 r 1 r 1 - 1 + α r 1 + β = 0

Temos que x r 1 ≠ 0 , então, para que a equação acima seja satisfeita, precisamos que

r 1 r 1 - 1 + α r 1 + β = 0

Passo 3

Nos foi dado no enunciado que r 1 é uma raiz repedida da equação

r ( r - 1 ) + α r + β = 0

Ou seja:

r 1 ( r 1 - 1 ) + α r 1 + β = 0

Usando esse resultado na equação abaixo temos:

x r 1 r 1 r 1 - 1 + α r 1 + β = 0

Logo

x r 1 0 = 0

0 = 0

Isso prova que x r 1 é solução da equação diferencial.

Passo 4

Agora, pelo método de redução de ordem, podemos considerar que y = ν x x r 1 é uma segunda solução da equação diferencial. Pela suposição feita, precisamos encontrar y ' e y ' ' para substituir na equação. Temos que:

y ' = ν ' x r 1 + ν r 1 x r 1 - 1

Então

y ' ' = ν ' ' x r 1 + 2 ν ' r 1 x r 1 - 1 + ν r 1 r 1 - 1 x r 1 - 2

Substituindo na equação diferencial, temos a seguinte expressão:

x 2 ν ' ' x r 1 + 2 ν ' r 1 x r 1 - 1 + ν r 1 r 1 - 1 x r 1 - 2 + α x ν ' x r 1 + ν r 1 x r 1 - 1 + β ν x r 1 = 0

ν ' ' x r 1 x 2 + 2 ν ' r 1 x r 1 x + ν r 1 r 1 - 1 x r 1 + α ν ' x r 1 x + α ν r 1 x r 1 + β ν x r 1 = 0

x r 1 ν ' ' x 2 + 2 ν ' r 1 x + ν r 1 r 1 - 1 + α ν ' x + α ν r 1 + β ν = 0

x r 1 ν ' ' x 2 + x ν ' 2 r 1 + α + ν r 1 r 1 - 1 + α r 1 + β = 0

Mas, temos que r 1 r 1 - 1 + α r 1 + β = 0 pelo o que foi dito no enunciado. Dessa forma, temos o seguinte:

x r 1 ν ' ' x 2 + x ν ' 2 r 1 + α = 0

Temos que x r ≠ 0 , então, para que a equação acima seja satisfeita, precisamos que:

ν ' ' x 2 + x ν ' 2 r 1 + α = 0

Simplificando, temos que:

ν ' ' x + ν ' 2 r 1 + α = 0

Passo 5

Vamos considerar agora a função fornecida no enunciado:

f r = r ( r - 1 ) + α r + β

Derivando isso temos:

f ' r = r - 1 + r + α

f ' r = 2 r - 1 + α

Como r 1 é uma raiz repetida de f r = r ( r - 1 ) + α r + β , então f ' r 1 = 0 , e assim temos que:

0 = 2 r 1 - 1 + α

Isso implica que:

2 r 1 + α = 1

Substituindo o achado na equação encontrado no passo anterior, temos:

ν ' ' x + ν ' 2 r 1 + α = 0

ν ' ' x + ν ' = 0

Passo 6

Assim, aplicando o método de redução de ordem, temos:

w = ν '

Isso implica que

w ' = ν ' '

Substituindo na equação encontrada no passo anterior, temos:

w ' x + w = 0

d w d x x + w = 0

1 w d w = - 1 x d x

ln ⁡ w = - ln ⁡ x + c

w = c 1 x - 1

Voltando com a substituição, temos:

ν ' = c 1 x - 1

d ν d x = c 1 x - 1

d ν = c 1 x d x

ν = c 1 ln ⁡ x + c 2

Onde  c 1 c 2 são constantes arbitrárias de integração. Podemos fazer c 1 = 1 e c 2 = 0 . Assim temos:

ν = ln ⁡ x

Assim, a segunda solução é:

y = x r 1 ln ⁡ x

Portanto, se  r 1 é uma raiz repetida de  r r - 1 + α r + β = 0 então  x r 1 ln ⁡ x x r 1 são as duas soluções da equação diferencial x 2 y ' ' + α x y ' + β y = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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