Enunciado

39. Estenda primeiro f a L ,   2 L de modo que seja simétrica em relação à reta x = L . Então f satisfaz f 2 L - x = f x para 0 ≤ x < L . Estenda a função resultante a - 2 L ,   0 como ímpar e ao resto da reta real como periódica de período 4 L (veja a Figura 10.4.7). Mostre que essa função tem série de Fourier formada pelas funções sen ⁡ π x / 2 L , sen ⁡ 3 π x / 2 L , sen ⁡ 5 π x / 2 L , . . . ; ou seja,

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ 2 n - 1 π x 2 L  

em que

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ 2 n - 1 π x 2 L   d x

Essa série converge para a função original em 0 ,   L .

Passo 1

Fala galera!!

Vamos considerar o gráfico da função f x  no intervalo 0 ,   L em que se estendeu o gráfico da função para L ,   2 L  em que o gráfico seja simétrico em relação à linha   x = L . Então  f satisfaz a equação f 2 L - x = f x para 0 ≤ x < L . Agora, fazemos uma extensão impar para  - 2 L ,   0 de modo que f - x = - f x , x ∈ - 2 L ,   2 L .

Assim, temos que o gráfico da função é representado da seguinte maneira:

Passo 2

Para uma função f x ímpar no intervalo de - 2 L ,   2 L , a série de funções de Fourier  é uma série senoidal dada pela seguinte expressão:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x 2 L

Em que b n é dado pela seguinte expressão:

b n = 2 2 L ∫ 0 2 L f x sen ⁡ n π x 2 L d x                   n = 1 ,   2 ,   3 ,   …

b n = 1 L ∫ 0 2 L f x sen ⁡ n π x 2 L d x

Podemos abrir a integral da seguinte maneira:

b n = 1 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x 2 L d x + 1 L ∫ L 2 L f x sen ⁡ n π x 2 L d x

Na primeira integral, podemos fazer a seguinte substituição:

2 L - x = t

x = 2 L - t

d x = - d t

Quando x = 0 temos que t = 2 L e quando x = L temos que t = L .

Assim temos:

b n = - 1 L ∫ 2 L L f 2 L - t sen ⁡ n π 2 L - t 2 L d t + 1 L ∫ L 2 L f x sen ⁡ n π x 2 L d x

b n = 1 L ∫ L 2 L f 2 L - t sen ⁡ n π 2 L - t 2 L d t + 1 L ∫ L 2 L f x sen ⁡ n π x 2 L d x

Mas, no intervalo de 0 ≤ t < 2 L , temos que f 2 L - t = f t . Substituindo, temos:

b n = 1 L ∫ L 2 L f t sen ⁡ n π 2 L - t 2 L d t + 1 L ∫ L 2 L f x sen ⁡ n π x 2 L d x

b n = 1 L ∫ L 2 L f t sen ⁡ n π - n π t 2 L d t + 1 L ∫ L 2 L f x sen ⁡ n π x 2 L d x

Passo 3

Para o caso em que n é par, temos que sen ⁡ n π - x = - sen ⁡ x . Assim temos:

b n = - 1 L ∫ L 2 L f t sen ⁡ n π t 2 L d t + 1 L ∫ L 2 L f x sen ⁡ n π x 2 L d x

b n = 0

Para o caso em que n é ímpar, temos que sen ⁡ n π - x = sen ⁡ x . Assim temos:

b n = 1 L ∫ L 2 L f t sen ⁡ n π t 2 L d t + 1 L ∫ L 2 L f x sen ⁡ n π x 2 L d x

b n = 2 L ∫ L 2 L f x sen ⁡ n π x 2 L d x

Podemos fazer a substituição

2 L - x = t

x = 2 L - t

d x = - d t

Quando x = 2 L temos que t = 0 e quando x = L temos que t = L .

b n = - 2 L ∫ L 0 f 2 L - t sen ⁡ n π 2 L - t 2 L d t

b n = 2 L ∫ 0 L f 2 L - t sen ⁡ n π 2 L - t 2 L d t

Mas, no intervalo de 0 ≤ t < 2 L , temos que f 2 L - t = f t . Substituindo, temos:

b n = 2 L ∫ 0 L f t sen ⁡ n π 2 L - t 2 L d t

b n = 2 L ∫ 0 L f t sen ⁡ n π - n π t 2 L d t

Para o caso em que n é ímpar, temos que sen ⁡ n π - x = sen ⁡ x . Assim temos:

b n = 2 L ∫ 0 L f t sen ⁡ n π t 2 L d t

Como estamos considerando só quando n é impar, podemos reescrever da seguinte maneira:

b n = 2 L ∫ 0 L f t sen ⁡ 2 n - 1 π t 2 L d t

Assim temos que a série de Fourier é a seguinte:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ 2 n - 1 π x 2 L  

Em que

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ 2 n - 1 π x 2 L d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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