Enunciado

Suponha que cada um dos vetores x 1 , … ,   x m tem n componentes, em que n < m . Mostre que x 1 , … ,   x m são linearmente dependentes.

Passo 1

Fala galera!!!

Para resolver essa questão, vamos tomar o vetor

x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n

Podemos dizer que um conjunto de vetores é linearmente dependente se existem escalares c 1 ,   c 2 ,   … ,   c n nem todos iguais a zero, de modo que sua combinação linear,

c 1 x 1 ,   c 2 x 2 ,   … ,   c n x n = 0

Passo 2

Vamos considerar um conjunto de vetores  x 1 , … ,   x m é linearmente dependente se existir um conjunto de constantes  c 1 ,   c 2 ,   … ,   c m , pelo menos um dos quais seja diferente de zero, de modo que

c 1 x 1 ,   … ,   c m x m = 0

Podemos reescreva esta equação como uma equação matricial:

X c = 0

Temos que a matriz que contém os vetores fornecidos como colunas X , é do tamanho n × m . Como n < m , podemos aumentar a matriz com m - n linhas de zeros. Assim, a matriz resultante X é do tamanho m × m . Como X é uma matriz quadrada, com pelo menos uma linha de zeros, segue-se que:

  d e t   ( X ) = 0

Pois temos uma linha de números zeros. Portanto, os vetores de coluna de X são linearmente dependentes. Ou seja, existe um vetor c diferente de zero, tal que X c = 0 m × 1 . Se escrevermos apenas as primeiras n linhas da última equação, teremos X c = 0 n × 1 . Portanto, os vetores de coluna de X são linearmente dependentes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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