Enunciado

Usando um tamanho de passo h   =   0,05 e o método de Euler, mas mantendo apenas três dígitos ao longo dos cálculos, determine valores aproximados para a solução em t   =   0,1 ;   0,2 ;   0,3   e   0,4 para cada um dos problemas de valor inicial a seguir.

B - y ' = 3 + t - y ,         y 0 = 1

Compare os resultados com os obtidos no Exemplo 1 e nos Problemas 1 e 3. As pequenas diferenças entre alguns dos resultados arredondados para três dígitos e os resultados atuais são causadas pelo erro de arredondamento. O erro de arredondamento tornar-se-ia importante se os cálculos exigissem muitos passos.

Passo 1

L e t r a   B :

Bem, essa questão teremos que criar um programinha que nos dê a solução dessa EDO:

y ' = 3 + t - y ,         y 0 = 1

Para isso, podemos usar esse modelinho aqui que o Boyce nos deu no capítulo dele:

SIM! Vamos ter que usar programação, assim como em todas as questões desse capítulo rsrsrs. Aqui eu vou utilizar a língua C++, ok? Como o problema não específica você pode utilizar a língua que você se sente confortável .

Passo 2

O Script na linguagem C++ para resolver esse problema seguindo aquele modelinho ali em cima (que nós chamamos de lógica) ficou assim (é o mesmo código da letra A, a diferença é a linha 30 com a definição da função):

Você pode copiar esse código em algum compilador na internet de C++. Quando você o executa, ele vai te dar os seguintes valores:

Os comparando com os valores obtidos no Problema 1 deste capítulo percebe-se que o fato de termos usado três casas decimais fixas, alterou-se pouco os nossos resultados, principalmente porquê estamos falando de um t pequeno, saca?

Resposta

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Em cada um dos problemas de23 a 26,use a fórmula de Euler modificada do Problema 22 com h=0,05 para calcular valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t=0,1 ;0,2 ;0,3e0,4 . C
27. Mostre que a fórmula de Euler modificada do Problema 22 será idêntica à fórmula de Euler aprimorada da E q .( 5 ) para y ' =f ( t ,y ) se f for linear em ambos t e y .
Em cada um dos problemas de23 a 26, use a fórmula de Euler modificada do Problem 22 com h=0,05 para calcular valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t=0,1 ;0,2 ;0,3e0,4 . C
14. Nesse problema, vamos provar que o erro de truncamento local para a fórmula de E u l e r aprimorada é proporcional a h 3 . Se supusermos que a solução ϕ do problema de valor inicial y ' = f t , y
24. Deduza uma expressão análoga à Eq. (22) para o erro de truncamento local para a fórmula de Euler inversa.Sugestão: Construa uma aproximação de Taylor apropriada de ϕ ( t ) em torno de t=t n + 1