Enunciado

Use a Definição 2 para achar uma expressão para a área sob o gráfico de f como um limite. Não calcule o limite.

f x = x cos ⁡ x ,   0 ≤ x ≤ π 2

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que usar a definição 2 para calcular a área abaixo da curva da função

f x = x cos ⁡ x ,     0 ≤ x ≤ π 2

Lembra como fazemos isso?

A Definição 2 diz que a área A da região S que está sob o gráfico de uma função contínua é o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes:

A = lim n → ∞ ⁡ [ f ( x 1 ) ∆ x + f x 2 ∆ x + … + f ( x n ) ∆ x ]

Veja só!

Passo 2

Com a função dada podemos achar o seguinte delta:

∆ x = π 2 - 0 n = π 2 n

Nosso x i é:

x i = 0 + i ∆ x = π 2 i n

Show?

Passo 3

Usando a definição:

A = l i m n → ∞ R n = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i π 2 n cos ⁡ i π 2 n   π 2 n  

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i π 2 n cos ⁡ i π 2 n   π 2 n  

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