Enunciado

Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.

y = x - 1 x 4 + 1  

Passo 1

Fala galera, nessa questão temos a seguinte função

y = x - 1 x 4 + 1  

E para resolve-la vamos usar a derivada logarítmica.

Mas como faz isso?Basicamente, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados da equação.

E depois vamos derivar implicitamente para encontrar o valor de y ' .(Aí não pode esquecer, quando deriva implicitamente sempre que derivar em y tem que multiplicar por y ' .)

Outra ideia que vai ajudar a gente aqui é saber as propriedades de logaritmos. Aqui vamos usar a propriedade do “peteleco”:

ln ⁡ A n = n ln ⁡ A

E a propriedade da divisão:

ln ⁡ A B = ln ⁡ A - ln ⁡ B

Passo 2

Nossa expressão é:

y = x - 1 x 4 + 1  

Uma raíz é a mesma coisa que elevar por meio:

y = x - 1 x 4 + 1 1 / 2

Tirando o logaritmo natural de ambos os lados, temos:

ln ⁡ y = ln ⁡ x - 1 x 4 + 1   1 / 2

Agora, podemos dar uma manipulada no termo da direita usando algumas propriedades de logaritmo.

Usando a propriedade do “peteleco”, temos:

ln ⁡ y = 1 2 ln ⁡ x - 1 x 4 + 1

E agora usando a propriedade da divisão, temos:

ln ⁡ y = 1 2 ln ⁡ x - 1 - 1 2 ln ⁡ x 4 + 1

Passo 3

Agora a gente vai derivar implicitamente:

ln ⁡ y = 1 2 ln ⁡ x - 1 - 1 2 ln ⁡ x 4 + 1

(Lembrando que quando derivar em y tem que multiplicar por y ' . E que temos algumas regras da cadeia rolando ali, no ln ⁡ x - 1 e no ln ⁡ x 4 + 1 .)

1 y y ' = 1 2 1 x - 1 1 - 1 2 1 x 4 + 1   4 x 3  

Isso nos dá que:

y ' = y 1 2 x - 1 - 2 x 3 x 4 + 1

E, por fim, substituímos a expressão dada para y , para obtermos y ' apenas em função de x .

Assim:

y ' = x - 1 x 4 + 1   1 2 x - 2 - 2 x 3 x 4 + 1

Resposta

y ' = x - 1 x 4 + 1   1 2 x - 2 - 2 x 3 x 4 + 1

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