Enunciado

Seja f x = log a ⁡ ( 3 x 2 - 2 ) . Para qual valor de a ocorre f ' 1 = 3 ?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o valor de a da função

f x = log a ⁡ 3 x 2 - 2

sabendo que a derivada da função em x = 1 é igual a 3 .

Ou seja, temos que usar essa informação da derivada para determinar qual o valor da constante a .

A ideia aqui é calcular a derivada da função f ( x ) , depois aplicar a condição de que em x = 1   ela é igual a 3 , depois isolar o a para determinar seu valor.

Já temos um plano. Então...

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da função

f x = log a ⁡ ( 3 x 2 - 2 )

E estamos olhando pra ela como sendo uma função composta. Pois temos a função 3 x 2 - 2 dentro da função log a ⁡ ( 3 x 2 - 2 ) .

Assim:

F x = f g x

f g x = log a ⁡ g x

E a regra da cadeia é

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.

A derivada da de fora é a derivada de log a ⁡ , então sua derivada será dada por:

f ' g x = log a ⁡ g x ' = 1 g x ln ⁡ a

Como

g x = 3 x 2 - 2

log a ⁡ g x ' = 1 3 x 2 - 2 ln ⁡ a

Show, e a derivada da função e dentro é

g ' x = 3 x 2 - 2 ' = 6 x

Aplicando a regra da cadeia, teremos:

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

log a ⁡ g x ' = 1 3 x 2 - 2 ln ⁡ a ⋅ 6 x

Arrumando um pouco melhor, ficamos com:

log a ⁡ 3 x 2 - 2 ' = 6 x 3 x 2 - 2 ln ⁡ a

E a derivada da nossa função é:

f ' x = 6 x 3 x 2 - 2 ln ⁡ a

Passo 3

Mas nós queremos saber o valor de a quando f ' 1 = 3 , então vamos aplicar esse ponto na derivada, fazendo x = 1 :

f ' 1 = 3

6 ⋅ 1 3 1 2 - 2 ln ⁡ a = 3

Desenvolvendo, ficamos com:

1 ln ⁡ a ⋅ 6 = 3

Multiplicando ambos os lados da equação por ln ⁡ a , temos:

6 = 3 ln ⁡ a

E dividindo ambos os lados por 3 :

2 = ln ⁡ a

Agora, como a exponencial é a função inversa do logaritimo, para isolar a , vamos aplicar a exponencial dos dois lados. Assim, temos:

a = e 2

E descobrirmos o valor de a .

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a = e 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a derivada indicada.x = c o s s e c^2 ((pi)/(3) - y) , e n c o n t r e (d x)/(d y)
Encontre a derivada indicada.(d)/(d omega) [a cos^2 pi omega + b s e n^2 pi omega] , a e b c o n s t a n t e s
Encontre a derivada indicada.lambda = ((a u + b)/(c u + d))^6 ; encontre (d lambda)/(d u) ( a , b , c , d c o n s t a n t e s ) .
Encontre d^2 y // d x^2 :y = x t g ((1)/(x))
(a) Use um recurso computacional para obter o gráfico da função f x = s e nx 2 cos ⁡ x no intervalo - π 2 , π 2 .(b) Use o gráfico de (a) para fazer um esboço do gráfico de f ' . (c) Encontre f ' ( x