Enunciado

Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função

y = cos ⁡ x x

Passo 1

Primeiramente, tomaremos o ln ⁡ y , daí ficamos com

ln ⁡ y = ln ( ⁡ cos ⁡ x x )  

ln ⁡ y = x ⋅ l n ⁡ ( cos ⁡ x )

Passo 2

Agora, derivando e usando as regras da cadeia e do produto, ficamos com

1 y ⋅ y ' = ln ⁡ cos ⁡ x + x ⋅ 1 cos ⁡ x ⋅ ( - sin ⁡ x )

1 y ⋅ y ' = ln ⁡ cos ⁡ x - x ⋅ sin ⁡ x cos ⁡ x

1 y ⋅ y ' = ln ⁡ cos ⁡ x - x ⋅ tan ⁡ x

Isolando y ' ficamos com

y ' = y ln ⁡ cos ⁡ x - x ⋅ tan ⁡ x

Passo 3

Agora, basta substituirmos y , então

y ' = cos ⁡ x x ⋅ ln ⁡ cos ⁡ x - x ⋅ tan ⁡ x

Resposta

y ' = cos ⁡ x x ⋅ ln ⁡ cos ⁡ x - x ⋅ tan ⁡ x

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Calcule a derivadaj) y = 10 x - 10 - x
y = x x x
Calcule a derivadai) y = 1 + i - t , i constante
Calcule a derivadag) y = x x s e n ( x )
Sejam f e g deriváveis em A , com f x0 em A . Verifique que, para todo x em A , f x g x ' = f x g xg ' x ln ⁡ f x + g xf x g x - 1f ' x