Enunciado

Use as desigualdades (12), (13) e (14) para encontrar um número n de subintervalos para a aproximação (a) pelo ponto médio M n e (b) trapezoidal T n e (c) pela regra de Simpson S n que garanta que o erro absoluto seja menor que o valor dado.

Exercício 2: 5 × 10 - 4

∫ 4 9   1 x d x

Passo 1

A ideia aqui é calcular o valor de n usando essas fórmulas:

E M ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

E T ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

E S ≤ b - a 5 k 4 180 n 4

Como o enunciado já dá o valor do limitante superior do erro, é só a gente substituir esse valor e isolar o n , para cada caso. Vamos lá!

Passo 2

(a) Precisamos avaliar o n para a aproximação pelo método do ponto médio, então vamos usar

E M ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

Onde K 2 é o valor máximo de f ' ' x no intervalo da integral.

Temos que:

f x = 1 x

Derivando duas vezes:

f ' x = - 1 2 x 3 2 ,   f ' ' x = 3 4 x 5 2  

Isso é uma divisão, então o valor máximo em módulo acontece no valor mínimo do denominador, que dentro do intervalo [ 4,9 ] , é o próprio x = 4 . Aí vemos que:

K 2 = f ' ' 4 = 3 128  

Passo 3

Como queremos estimar o número de subintervalos n para que E M = 5 × 10 - 4 , com a = 4 e b = 9 , nossa inequação fica:

5 × 10 - 4 ≤ 9 - 4 3 3 / 128 24 ⋅ n 2

Isolando n :

24 × 128 × 5 × 10 - 4 125 × 3 ≤ 1 n 2 ∴ 24 × 128 × 5 × 10 - 4 125 × 3 - 1 2 ≤ n ∴ n ≥ 15,625

Como n é inteiro, ele deve ser:

n = 16

Passo 4

(b) Precisamos avaliar o n para a aproximação pelo método trapezoidal, então vamos usar

E T ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

Onde K 2 é o valor máximo de f ' ' x no intervalo da integral.

Já vimos que:

K 2 = 3 / 128

Como queremos estimar o número de subintervalos n para que E T = 5 × 10 - 4 , com a = 4 e b = 9 , nossa inequação fica:

5 × 10 - 4 ≤ 9 - 4 3 3 / 128 12 ⋅ n 2

Isolando n :

12 × 128 × 5 × 10 - 4 125 × 3 ≤ 1 n 2 ∴ 12 × 128 × 5 × 10 - 4 125 × 3 - 1 2 ≤ n ∴ n ≥ 22,1

Como n é inteiro, ele deve ser:

n = 23

Passo 5

(c)Precisamos avaliar o n para a aproximação pela regra de SImpson, então vamos usar

E S ≤ b - a 5 K 4 180 n 4

Onde K 4 é o valor máximo de f ( 4 ) x no intervalo da integral.

Temos que:

f ' ' x = 1 4 x 5 2

Derivando duas vezes:

f ' ' ' x = - 15 8 x 7 2 ,   f 4 ( x ) = 105 16 x 9 2  

Isso é uma divisão, então o valor máximo em módulo acontece no valor mínimo do denominador, que dentro do intervalo [ 4,9 ] , é o próprio x = 4 . Aí vemos que:

K 4 = f 4 4 = 105 8192  

Passo 6

Como queremos estimar o número de subintervalos n para que E S = 5 × 10 - 4 , com a = 4 e b = 9 , nossa inequação fica:

5 × 10 - 4 ≤ 9 - 4 5 1 0 5 / 8192 1 80 ⋅ n 4

Isolando n :

5 × 180 × 8192 × 10 - 4 1 0 5 × 5 5 ≤ 1 n 4 ∴ 5 × 180 × 8192 × 10 - 4 105 × 5 5 - 1 4 ≤ n ∴ n ≥ 4,6

Para a regra de Simpson, n dever ser inteiro par, por isso:

n = 6

Resposta

a   n = 16

b   n = 23

c   n = 6

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →