Enunciado

Use a fórmula de Abel para encontrar o wronskiano de um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial dada.

t 2 y 4 + t y ' ' ' + y ' ' - 4 y = 0

Passo 1

Vamos começar relembrando o que diz o teorema de Abel. Este teorema mostra que, para uma equação homogênea da forma:

y ( n ) + p 1 t y n - 1 + … + p n t y = 0

Podemos usar a seguinte fórmula para calcular o wronskiano:

W y 1 , … ,   y n t = c exp ⁡ - ∫ p 1 t d t

Tudo bem???

Passo 2

Nosso primeiro passo será encontrar qual é a função p 1 ( t ) para a nossa equação diferencial. A função p 1 ( t ) é aquela que multiplica a derivada de ordem n - 1 . Para o nosso caso, temos uma equação diferencial de ordem n = 4 , então n - 1 = 3 . Mas antes, vamos reescrever a equação diferencial:

t 2 y 4 + t y ' ' ' + y ' ' - 4 y = 0

y 4 + 1 t y ' ' ' + 1 t 2 y ' ' - 4 t 2 y = 0

Então

p 1 t = 1 / t

Passo 3

Aplicando a fórmula de Abel:

W y 1 , … ,   y n t = c exp ⁡ - ∫ p 1 t d t

W y 1 , … ,   y n t = c exp ⁡ - ∫ 1 t d t

W y 1 , … ,   y n t = c exp ⁡ - ∫ d t t

W = c e - ln ⁡ t

W = c e ln ⁡ t - 1

W = c t - 1 = c / t

Resposta

O wronskiano é W = c / t   .

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