Enunciado

Use uma das fórmulas em (5) para achar a área sob um arco da cicloide x = t - sen ⁡ t , y = 1 - cos ⁡ t .

Passo 1

A curva C no ciclo de 0 a 2 π sai do ponto ( 0,0 ) e vai até ( 2 π , 0 ) e tem todos os seus valores positivos nesse ciclo, esboçando a curva temos algo do tipo

Ainda temos uma curva aberta, para fechar vamos usar outra curva C * que ligue os pontos ( 0,0 ) e ( 2 π , 0 ) que pode ser parametrizada por

r * t = t , 0 ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Para termos uma orientação positiva no cicloide, vamos ter a variação de 2 π a 0 , então temos que para calcular a área vamos usar C ∪ C * , vamos chamar essa curva de K , então a área pode ser dada por

A = ∮ K x   d y = - ∮ K y   d x = 1 2 ∮ K x   d y - y   d x

Se escolhermos a equação do meio

A = - ∮ K y   d x = - ∫ C y   d x - ∫ C * y   d x

= - ∫ 2 π 0 1 - cos ⁡ t d d t t - sen ⁡ t d t - ∫ 0 2 π 0   d t

Como temos um menos na frente, podemor sumir com ele invertendo os limites de integração

= ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ t 2 d t = ∫ 0 2 π 1 - 2 cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t

= ∫ 0 2 π 1 - 2 cos ⁡ t + 1 + cos ⁡ ( 2 t ) 2 d t

= t - 2 sen ⁡ t + t 2 + sen ⁡ 2 t 4 0 2 π = 2 π + 2 π 2 = 3 π

Resposta

3 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

8) Suponha P e Q de classe C1 em Ω = ℝ2 - {(0, 0), (1, 1)}. Suponha, ainda, ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 0 Calcule ∮ γ P d x + Q d y Sabendo que ∮ γ 1 P d x + Q d y = 1 e ∮ γ 2 P d x + Q d y = 2 (γ1 e γ2 são o
11 ) Faça uma lista de conjuntos para os quais você acha que o teorema deGreen se aplica. Justifique.
7) Suponha P (x, y) e Q (x, y) de classe C1 num aberto Ω de ℝ2. Prove que F→ = P i→ + Q j → É irrotacional se e somente se ∮ γ P d x + Q d y= 0 para toda curva γ, orientada no sentido anti-horário e f
6) Seja K a região hachurada; γ a poligonal ABCD orientada no sentido anti-horário; γ1 a poligonal EHGF orientada no sentido horário; γ2 a poligonalXWZY orientada no sentido horário. Prove queProve qu
2 ) Sejam γ1 a poligonal de vértices A, B, C, D orientada no sentido antihorário e γ2 a poligonal de vértices H, G, F, E orientada no sentido horário.Suponha P e Q de classe C1 num aberto contendo K,