Enunciado

7) Suponha P (x, y) e Q (x, y) de classe C1 num aberto Ω de ℝ2. Prove que

F   → = P i   → + Q j →

É irrotacional se e somente se

∮ γ P d x + Q d y   = 0

para toda curva γ, orientada no sentido anti-horário e fronteira de umretângulo de lados paralelos aos eixos e contido em Ω.

Passo 1

Sabemos que pelo teorema de Green

∮ γ P d x + Q d y   = ∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d x d y

Uma outra forma de escrever isso é na forma diferencial do Teorema de Stolkes ( Uma generalização em R³ do Green)

∮ γ P d x + Q d y   = ∬ K ∇ × F ⋅ d S

Logo se temos que um lado da igualdade é nula

∮ γ P d x + Q d y   = 0

Isso faz com que

∬ K ∇ × F ⋅ d S = 0

Passo 2

E como estamos numa integral de superfície, estamos integrando uma função numa área, e áreas de superfície é sempre um cálculo com resultado positivo. Isso Força então que a função que estamos integrando seja nula

∇ × F = 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Utilize a formula da área do teorema de Green no Exercicio abaixo para encontrar a áreas da região delimitada pela curva .
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