Enunciado

Use o gráfico dado de f x = x ² para encontrar um número δ tal que

se x - 1 < δ então x ² - 1 < 1 2

Passo 1

E aí, galerinha, tudo joia? Não precisa assustar com essa questão, vem comigo resolver passo a passo!

A ideia aqui é usar o gráfico abaixo da função   f x = x 2 para encontrar o número δ de modo que, se a diferença entre x e 1 for menor que δ , então a diferença entre x 2 e 1

seja menor que 1 2 .

Então podemos usar a região próxima do ponto ( 1   , 1 ) . Podemos reescrever a desigualdade

x ² - 1 < 1 2

Com o objetivo de tirar o módulo e isolar o x , teremos:

- 1 2 + 1 < x 2 < 1 2 + 1

Assim, precisamos determinar os valores de x para os quias a curva y = x ² está entre as restas horizontais y = 0,5 e y = 1,5 .

Passo 2

Agora, olhando no gráfico as três funções próximo do ponto ( 1   ,   1 ) , e vemos o ponto de intersecção da curva com as restas não está no gráfico, entretando é possível achar apenas substituindo na curva   y = x ² :

x = y

x = 0,5 = 0,707

x = 1,5 = 1,224

0,707 < x < 1,224

Vemos que esse intervalo não é simétrico em torno de 1 , a distância até a extremidade esquerda é 1 - 0,707 = 0,293 , e a distância até a extremidade direita é 1,224 - 1 = 0,224 .

Deveremos escolher δ como o menor desses números, isto é δ = 0,22 4 pois se escolhermos o maior teríamos f 1 + δ > 1.5 . Embora tenhamos escolhido δ = 0,224 , qualquer valor menor positivo de δ também funcionaria.

E prontinho, finalizamos!

Resposta

δ = 0,224

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