Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 15.6 - Ex. 20
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
O sólido delimitado pelo cilindro elíptico e pelos planos e
Passo 1
Para calcular o volume, vamos calcular a integral
Primeiramente podemos colocar a variação de como sendo e depois podemos isolar na equação do cilindro
Podemos escrever a variação de como e a de acontece nos valores em que que são os valores máximo e mínimo de , já que a elipse está centrada na origem, então
Então
Passo 2
Calculando a integral temos
Vamos esquecer por enquanto os limites de integração e vamos fazer a substituição trigonométrica na integral
Substituindo
Substituindo
Para voltarmos para a variável , vamos usar o triangulo
Então temos que, pela substituição e pelo triangulo , logo
Voltando a nossa primeira integral do volume
Como o arco seno é uma função impar simétrica, , logo
Como
Resposta
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