Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada

∭ T d V

Onde T é o hemisfério da frente da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 .

Passo 1

Fala pessoa! Tranquilidade? Vamos resolver mais uma questãozinha!

Dessa vez, o enunciao pede pra gente calcular a integral tripla:

∭ T d V

Onde T é o hemisfério da frente da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 . Muita atenção na nomenclatura! “Parte da frente” da esfera é como se a gente cortasse a esfera na vertical e pegasse a “tigela” que sobrou. Dessa forma, temos uma região onde x ≥ 0 . Como estamos trabalhando com uma esfera, nada mais justo que a gente adote coordenadas esféricas para resolver o problemas. Sendo assim, temos que lembrar do seguinte:

x = r   s e n ϕ   c o s θ

y = r   s e n ϕ   s e n θ

z = r   c o s ϕ

r 2 = x 2 + y 2 + z 2

Com isso tudo em mente, vamos partir para a resolução!

Passo 2

O primeiro passo pra gente montar nossa integral é reescrever ela nas coordenadas esféricas. Vamos primeiro definir nossos limites de integração. Como estamos interessados na parte da frente da esfera, temos a região onde:

x ≥ 0

Ou seja:

r   s e n ϕ   c o s θ ≥ 0

Mas como sabemos, r é naturalmente positivo. Isso nos faz concluir o seguinte:

s e n ϕ   c o s θ ≥ 0

Ainda podemos tirar uma conclusão bem interessante disso. O ângulo polar ϕ sempre é positivo. Isso por que, pela definição das coordenadas polares, ele varia da seguinte maneira:

0 ≤ ϕ ≤ π

Sendo assim, só nos resta a possibilidade de que:

c o s θ ≥ 0

Para essa condição, teremos “mapeado” a parte da frente do hemisfério. Ou seja, teremos que ter:

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Além disso, nosso valor de r tem os limites:

0 ≤ r ≤ 2

Isso por que a nossas expressão:

x 2 + y 2 + z 2 = 4

Nos dá o valor de:

r = 2

Com todos esses ingredientes, vamos resolver o problema!!

Passo 3

Agora vamos montar nossa integral! Temos que converter o elemento de volume. Pela mudança de coordenadas, teremos o seguinte:

d V = d x   d y   d z

Para a mudança de coordenada, temos:

d V = r 2 s e n ϕ   d r   d ϕ   d θ

Substituindo na nossa integral, temos:

∭ T d V = ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 π ∫ 0 2 r 2   s e n ϕ   d r   d ϕ   d θ

Vamos resolver com calma, de dentro para fora. Podemos ver que os limites de integração são bem definidos e não possuem dependência em nenhuma variável. Além disso, nosso integrando também não é dependente entre si. Podemos simplificar a integral da seguinte maneira:

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 π ∫ 0 2 r 2   s e n ϕ   d r   d ϕ   d θ = ∫ - π 2 π 2 d θ   ∫ 0 π s e n ϕ   d ϕ   ∫ 0 2 r 2   d r

Resolvendo cada uma, com calma, vamos ter o seguinte:

∫ 0 2 r 2   d r = r 3 3 0 2

Avaliando nos limites de integração, temos:

∫ 0 2 r 2   d r = 8 3

Para a segunda integral, temos:

∫ 0 π s e n ϕ   d ϕ = - c o s ϕ 0 π

Avaliando nos limites de integração, temos:

= - - 1 - - 1 = 2

Com isso, a segunda integral é:

∫ 0 π s e n ϕ   d ϕ = 2

Para a terceira integral, temos:

∫ - π 2 π 2 d θ = π 2 - - π 2

Avaliando a expressão, temos:

∫ - π 2 π 2 d θ = π

Passo 4

Juntando todas essas informações, temos que:

∭ T d V = ∫ - π 2 π 2 d θ   ∫ 0 π s e n ϕ   d ϕ   ∫ 0 2 r 2   d r

Substituindo o resultado que calculamos, temos:

∭ T d V = π ⋅ 2 ⋅ 8 3

Simplificando:

∭ T d V = 16 π 3

Resposta

∭ T d V = 16 π 3

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