Enunciado

Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada

∫ ∫ ∫ T d V

Onde T é o hemisfério da frente da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 .

Passo 1

Lembra que na inegral tripla o d V   é a mesma coisa que d x d y d z , então sabemos que as integrais triplas podem ser calculadas de forma análoga às integrais duplas, por meio de integrações sucessivas.

Para calcular as integrais duplas precisávamos ter noção da região de integração, aqui em integrais triplas vamos precisar da mesma noção.

Passo 2

Nossa superfície T é delimitada por:

0 ≤ x ≤ 4 - z 2 - y 2

- 4 - z 2 ≤ y ≤ 4 - z 2

- 2 ≤ z ≤ 2

Passo 3

Agora vamos deixar nossa integral na forma com as três variáveis e depois colocá-la na forma iterada :

∫ ∫ ∫ T d V =   ∫ - 2 2 ∫ - 4 - z 2 4 - z 2 ∫ 0 4 - z 2 - y 2 d x d y d z = ∫ - 2 2 ∫ - 4 - z 2 4 - z 2 4 - z 2 - y 2 d y d z =

∫ - 2 2 ∫ - 4 - z 2 4 - z 2 4 - z 2 - y 2 d y d z = ∫ - 2 2 - 1 2 π z 2 - 4 d z = 16 π 3

Resposta

16 π 3

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Calcule a seguinte integral tripla: ∭ W zd xd yd x Onde, W é a região no primeiro octante limitada pelos planos y = 0 , z = 0 , x + y = 2 , 2 y + x = 6 e o cilindro y 2 + z 2 = 4 .
Calcule o volume do sólido W descrito abaixo. W é limitado pelo cone z = x 2 + y 2 e o parabolóide z = x 2 + y 2 .
Calcule o volume do sólido W descrito abaixo:(b) W é limitado pelas superfícies z = 8 - x 2 - y 2 e z = x 2 + 3 y 2 .
Calcule o volume do sólido W descrito abaixo:(e) W = x , y , z ∈ R 3 z ≥ 1;x + y + z ≤ 7;x ≥ y 2 .
Calcule o volume do sólido W descrito abaixo.(c) W é limitado pelas superfícies z = 4 - x 2 - y 2 e z = y , está situado no interior do cilindro x 2 + y 2 = 1 , e z ≥ 0 .