Enunciado

Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.

O sólido delimitado pelo cilindro x = y 2 e pelos planos z = 0 e x + z = 1

Passo 1

Para calcular o volume, vamos calcular a integral

V = ∭ E 1   d V

Podemos achar de cara a variação de z isolando ele na equação do plano x + z = 1

z = 1 - x

E temos a variação 0 ≤ z ≤ 1 - x . Para as outras duas variáveis, vamos ter que analizar x = y 2 e a intersecção do plano x + z = 1 com z = 0 , essa intersecção é

x = 1

Olhando no plano temos

Então a variação de x vai ser y 2 ≤ x ≤ 1 e a de y , quando x = 1 , na intersecção y = ± 1 , ou seja, o intervalo é - 1 ≤ y ≤ 1 .

Passo 2

Calculando a integral temos

V = ∭ E 1   d V = ∫ - 1 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 - x 1   d z d x d y

= ∫ - 1 1 ∫ y 2 1 1 - x d x d y = ∫ - 1 1 x - x 2 2 y 2 1 d y

= ∫ - 1 1 1 - 1 2 - y 2 - y 4 2 d y = ∫ - 1 1 1 2 - y 2 + y 4 2 d y

= y 2 - y 3 3 + y 5 10 - 1 1 = 2 1 2 - 1 3 + 1 10

= 2 15 - 10 + 3 30 = 8 15

Resposta

= 8 15

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