Enunciado

  1. Use a regra do ponto médio para as integrais duplas (veja a Seção 15.1) com quatro quadrados para estimar a área de superfície da parte do paraboloide z = x 2 + y 2 que está acima do quadrado 0,1 × [ 0,1 ] .
  2. Use um sistema algébrico computacional para aproximar a área de superdicie da parte (a) até a quarta casa decimal. Compare com sua resposta da parte (a).

Passo 1

  1. Os pontos médios dos quatro quadrados são 1 4 , 1 4 ,   1 4 , 3 4 , 3 4 , 1 4 , 3 4 , 3 4 .
  2. Temos que

    z = f x , y = x 2 + y 2

    E para calcular a área de superfície usamos:

    A S = ∬ D 1 + ∂ y ∂ x 2 + ∂ y ∂ z 2 d A

    Então, vamos primeiro, encontrar as derivadas parciais da função:

    f x x , y = 2 x

    f y x , y = 2 y

    Passo 2

    Agora, substituindo na formulinha, temos que nossa integral dupla é:

    A S = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 + 2 x 2 + 2 y 2 d y d x

    Isso implica que

    A S = 1 4 2 1 4 2 + 2 1 4 2 + 1 + 2 1 4 2 + 2 3 4 2 + 1 + 2 3 4 2 + 2 1 4 2 + 1 + 2 3 4 2 + 2 3 4 2 + 1 = 1 4 ( 3 2 + 2 7 12 + 11 2 ≈ 1,8279

    Passo 3

  3. Uma estima da integral como sendo

A S = ∫ 0 1 ∫ 0 1 4 x 2 + 4 y 2 + 1 d y d x ≈ 1,8 616

Isso concorda com a estimativa do ponto médio apenas na primeira casa decimal.

Resposta

  1. ≈ 1,8279
  2. ≈ 1,8616
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7 . Calcule a área da superfície esférica x 2+y 2+z 2=2 que seencontra dentro do paraboloide z=x 2+y 2
4 . Calcule a área da parte da superfície cilíndrica z 2+x 2=4 que seencontra dentro do cilindro x 2+y 2≤4 e acima do plano xy
10 . Calcule a área de z = x 2 + y 2,x 2 + y 2 ≤ 2 x,x ≥ 1ey ≥ 0
8 . Calcule a área da parte do cone z 2=x 2+y 2 que se encontra dentro docilindro x 2+y 2≤2 x , fora do cilindro x 2+y 2≤1 e acima do plano x y .
Calcule a área da parte do paraboloide elíptico z = x 2 + 2 y 2 que se encontra dentro do cilindro 4 x 2 + 16 y 2 ≤ 1 .