Enunciado

Use o método dos aniquiladores para encontras a forma de uma solução particular Y t para cada uma das equações nos problemas de 13 a 18. Não calcule os coeficientes.

Passo 1

(13) A equação diferencial dada nessa questão é

y ' ' ' - 2 y ' ' + y ' = t 3 + 2 e t

Podemos escrevê-la na forma de operador. Assim temos:

D D - 1 y = t 3 + 2 e t

Precisamos encontrar agora, operadores que são capazes de aniquilar t 3 e 2 e t .

Um aniquilador para t 3 é D 4 , pois

D 4 t 3 = 0

Um aniquilador para 2 e t é D - 1 , pois

D - 1 2 e t = 0

Encontramos no exercício anterior na questão (a), que um aniquilar composto pelos dois aniquiladores, é capas de aniquilar ambas as parcelas simultaneamente. Assim

D 4 D - 1 t 3 + 2 e t = 0

Passo 2

Agora, vamos aplicar o operador D 4 D - 1 na equação diferencial

D D - 1 y = t 3 + 2 e t

Aplicamos o operador nos dois dados da equação. Assim temos:

D 4 D - 1 D D - 1 y = D 4 D - 1 t 3 + 2 e t

Como foi visto anteriormente, o lado direito da equação é zero. Assim temos:

D 4 D - 1 D D - 1 y   = 0

Como os operadores lineares são comutativos e associativos, então:

D 4 D D - 1 D - 1 y   = 0

D 5 D - 1 2 y   = 0

Portanto, determina-se que  y t  é uma solução da equação homogênea encontrada acima. Temos que equação homogênea tem a solução é dada por

y t = c 1 + c 2 t + c 3 t 2 + c 4 t 3 + c 5 t 4 + c 6 e t + c 7 t e t + c 8 t 2 e t

Mas, temos que 1 ,   e t ,   t e t  são as soluções da equação homogênea

D D - 1 y = 0

e, portanto, não podemos fazer parte da solução particular. Assim, ao eliminar termos duplicados por meio do ajuste

c 1 = c 6 = c 7 = 0

 a solução particular da equação

y ' ' ' - 2 y ' ' + y ' = t 3 + 2 e t

é

y t = c 2 t + c 3 t 2 + c 4 t 3 + c 5 t 4 + c 8 t 2 e t

Passo 3

(14) A equação diferencial dada nessa questão é

y ' ' ' - y ' = t e - t + 2 cos ⁡ t

Podemos escrevê-la na forma de operador. Assim temos:

D D 2 - 1 y = t e - t + 2 cos ⁡ t

Precisamos encontrar agora, operadores que são capazes de aniquilar t e - t e 2 cos ⁡ t .

Um aniquilador para t e - t é D + 1 2 , pois

D + 1 2 t e - t = 0

Um aniquilador para 2 cos ⁡ t é D 2 + 1 , pois

D 2 + 1 2 cos ⁡ t = 0

Encontramos no exercício anterior na questão (a), que um aniquilar composto pelos dois aniquiladores, é capas de aniquilar ambas as parcelas simultaneamente. Assim

D + 1 2 D 2 + 1 t e - t + 2 cos ⁡ t = 0

Passo 4

Agora, vamos aplicar o operador D + 1 2 D 2 + 1 na equação diferencial

D D 2 - 1 y = t e - t + 2 cos ⁡ t

Aplicamos o operador nos dois dados da equação. Assim temos:

D + 1 2 D 2 + 1 D D 2 - 1 y = D + 1 2 D 2 + 1 t e - t + 2 cos ⁡ t

Como foi visto anteriormente, o lado direito da equação é zero. Assim temos:

D + 1 2 D 2 + 1 D D 2 - 1 y   = 0

Como os operadores lineares são comutativos e associativos, então:

D D + 1 2 D 2 + 1 D 2 - 1 y   = 0

Portanto, determina-se que  y t  é uma solução da equação homogênea encontrada acima. Temos que equação homogênea tem a solução é dada por

y t = c 1 + c 2 e t + c 3 e - t + c 4 t e - t + c 5 t 2 e - t + c 6 cos ⁡ t + c 7 sen ⁡ t

Mas, temos que 1 ,   e t ,   e - t  são as soluções da equação homogênea

D D 2 - 1 y = 0

e, portanto, não podemos fazer parte da solução particular. Assim, ao eliminar termos duplicados por meio do ajuste

c 1 = c 2 = c 3 = 0

 a solução particular da equação

y ' ' ' - y ' = t e - t + 2 cos ⁡ t

é

y t = c 4 t e - t + c 5 t 2 e - t + c 6 cos ⁡ t + c 7 sen ⁡ t

Passo 5

(15) A equação diferencial dada nessa questão é

y 4 - 2 y ' ' + y = e t + sen ⁡ t

Podemos escrevê-la na forma de operador. Assim temos:

D 2 - 1 2 y = e t + sen ⁡ t

Precisamos encontrar agora, operadores que são capazes de aniquilar e t e sen ⁡ t .

Um aniquilador para e t é D - 1 , pois

D - 1 e t = 0

Um aniquilador para sen ⁡ t é D 2 + 1 , pois

D 2 + 1 sen ⁡ t = 0

Encontramos no exercício anterior na questão (a), que um aniquilar composto pelos dois aniquiladores, é capas de aniquilar ambas as parcelas simultaneamente. Assim

D - 1 D 2 + 1 e t + sen ⁡ t = 0

Passo 6

Agora, vamos aplicar o operador D - 1 D 2 + 1 na equação diferencial

D 2 - 1 2 y = e t + sen ⁡ t

Aplicamos o operador nos dois dados da equação. Assim temos:

D - 1 D 2 + 1 D 2 - 1 2 y = D - 1 D 2 + 1 e t + sen ⁡ t

Como foi visto anteriormente, o lado direito da equação é zero. Assim temos:

D - 1 D 2 + 1 D 2 - 1 2 y   = 0

Portanto, determina-se que  y t  é uma solução da equação homogênea encontrada acima. Temos que equação homogênea tem a solução é dada por

y t = c 1 e t + c 2 t e t + c 3 t 2 e t + c 4 e - t + c 5 t e - t + c 6 cos ⁡ t + c 7 sen ⁡ t

Mas, temos que e t ,   t e t ,   e - t ,   t e - t  são as soluções da equação homogênea

D 2 - 1 2 y = 0

e, portanto, não podemos fazer parte da solução particular. Assim, ao eliminar termos duplicados por meio do ajuste

c 1 = c 2 = c 4 = c 5 = 0

 a solução particular da equação

y 4 - 2 y ' ' + y = e t + sen ⁡ t

é

y t = c 3 t 2 e t + c 6 cos ⁡ t + c 7 sen ⁡ t

Passo 7

(16) A equação diferencial dada nessa questão é

y 4 + 4 y ' ' = sen ⁡ 2 t + t e t + 4

Podemos escrevê-la na forma de operador. Assim temos:

D 2 D 2 + 4 y = sen ⁡ 2 t + t e t + 4

Precisamos encontrar agora, operadores que são capazes de aniquilar t e t , sen ⁡ 2 t e 4.

Um aniquilador para t e t é D - 1 2 , pois

D - 1 2 t e t = 0

Um aniquilador para sen ⁡ 2 t é D 2 + 4 , pois

D 2 + 4 sen ⁡ 2 t = 0

Um aniquilador para 4 é D , pois

D 4 = 0

Encontramos no exercício anterior na questão (a), que um aniquilar composto pelos dois aniquiladores, é capas de aniquilar ambas as parcelas simultaneamente. Assim

D D 2 + 4 D - 1 2 sen ⁡ 2 t + t e t + 4 = 0

Passo 8

Agora, vamos aplicar o operador D D 2 + 4 D - 1 2 na equação diferencial

D 2 D 2 + 4 y = sen ⁡ 2 t + t e t + 4

Aplicamos o operador nos dois dados da equação. Assim temos:

D D 2 + 4 D - 1 2 D 2 D 2 + 4 y = D D 2 + 4 D - 1 2 sen ⁡ 2 t + t e t + 4

Como foi visto anteriormente, o lado direito da equação é zero. Assim temos:

D D 2 + 4 D - 1 2 D 2 D 2 + 4 y   = 0

Como os operadores lineares são comutativos e associativos, então:

D 3 D - 1 2 D 2 + 4 2 y   = 0

Portanto, determina-se que  y t  é uma solução da equação homogênea encontrada acima. Temos que equação homogênea tem a solução é dada por

y t = c 1 + c 2 t + c 3 t 2 + c 4 e t + c 5 t e t + c 6 sen ⁡ 2 t + c 7 t sen ⁡ 2 t + c 8 cos ⁡ 2 t + c 9 t cos ⁡ 2 t  

Mas, temos que 1 ,   t ,   cos ⁡ 2 t ,   sen ⁡ 2 t , são as soluções da equação homogênea

D 2 D 2 + 4 y = 0

e, portanto, não podemos fazer parte da solução particular. Assim, ao eliminar termos duplicados por meio do ajuste

c 1 = c 2 = c 6 = c 8 = 0

 a solução particular da equação

y 4 + 4 y ' ' = sen ⁡ 2 t + t e t + 4

é

y t = c 3 t 2 + c 4 e t + c 5 t e t + c 7 t sen ⁡ 2 t + c 9 t cos ⁡ 2 t  

Passo 9

(17) A equação diferencial dada nessa questão é

y 4 - y ' ' ' - y ' ' + y ' = t 2 + 4 + t sen ⁡ t

Podemos escrevê-la na forma de operador. Assim temos:

D D - 1 D 2 - 1 y = t 2 + 4 + t sen ⁡ t

Precisamos encontrar agora, operadores que são capazes de aniquilar t 2 + 4 e t sen ⁡ t .

Um aniquilador para t 2 + 4 é D 3 , pois

D 3 t 2 + 4 = 0

Um aniquilador para t sen ⁡ t é D 2 + 1 2 , pois

D 2 + 1 2 t sen ⁡ t = 0

Encontramos no exercício anterior na questão (a), que um aniquilar composto pelos dois aniquiladores, é capas de aniquilar ambas as parcelas simultaneamente. Assim

D 3 D 2 + 1 2 t 2 + 4 + t sen ⁡ t = 0

Passo 10

Agora, vamos aplicar o operador D 3 D 2 + 1 2 na equação diferencial

D D - 1 D 2 - 1 y = t 2 + 4 + t sen ⁡ t

Aplicamos o operador nos dois dados da equação. Assim temos:

D 3 D 2 + 1 2 D D - 1 D 2 - 1 y = D 3 D 2 + 1 2 t 2 + 4 + t sen ⁡ t

Como foi visto anteriormente, o lado direito da equação é zero. Assim temos:

D 3 D 2 + 1 2 D D - 1 D 2 - 1 y   = 0

Como os operadores lineares são comutativos e associativos, então:

D 4 D - 1 D 2 - 1 D 2 + 1 2 y   = 0

Portanto, determina-se que  y t  é uma solução da equação homogênea encontrada acima. Temos que equação homogênea tem a solução é dada por

y t = c 1 + c 2 t + c 3 t 2 + c 4 t 3 + c 5 e t + c 6 t e t + c 7 e - t + c 8 cos ⁡ t + c 9 t cos ⁡ t + c 10 sen ⁡ t + c 11 t sen ⁡ t

Mas, temos que 1 ,   e t ,   t e t ,   e - t , são as soluções da equação homogênea

D D - 1 D 2 - 1 y = 0

e, portanto, não podemos fazer parte da solução particular. Assim, ao eliminar termos duplicados por meio do ajuste

c 1 = c 5 = c 6 = c 7 = 0

 a solução particular da equação

y 4 - y ' ' ' - y ' ' + y ' = t 2 + 4 + t sen ⁡ t

é

y t = c 2 t + c 3 t 2 + c 4 t 3 + c 8 cos ⁡ t + c 9 t cos ⁡ t + c 10 sen ⁡ t + c 11 t sen ⁡ t

Passo 11

(18) A equação diferencial dada nessa questão é

y 4 + 2 y ' ' ' + 2 y ' ' = 3 e t + 2 t e - t + e - t sen ⁡ t

Podemos escrevê-la na forma de operador. Assim temos:

D 2 D 2 + 2 D + 2 y = 3 e t + 2 t e - t + e - t sen ⁡ t

Precisamos encontrar agora, operadores que são capazes de aniquilar 3 e t , 2 t e - t e e - t sen ⁡ t .

Um aniquilador para 3 e t é D - 1 , pois

D - 1 3 e t = 0

Um aniquilador para 2 t e - t é D + 1 2 , pois

D + 1 2 2 t e - t = 0

Um aniquilador para e - t sen ⁡ t é D 2 + 2 D + 2 , pois

D 2 + 2 D + 2 e - t sen ⁡ t = 0

Encontramos no exercício anterior na questão (a), que um aniquilar composto pelos dois aniquiladores, é capas de aniquilar ambas as parcelas simultaneamente. Assim

D - 1 D + 1 2 D 2 + 2 D + 2 3 e t + 2 t e - t + e - t sen ⁡ t = 0

Passo 12

Agora, vamos aplicar o operador D - 1 D + 1 2 D 2 + 2 D + 2 na equação diferencial

D 2 D 2 + 2 D + 2 y = 3 e t + 2 t e - t + e - t sen ⁡ t

Aplicamos o operador nos dois dados da equação. Assim temos:

D - 1 D + 1 2 D 2 + 2 D + 2 D 2 D 2 + 2 D + 2 y = D - 1 D + 1 2 D 2 + 2 D + 2 3 e t + 2 t e - t + e - t sen ⁡ t

Como foi visto anteriormente, o lado direito da equação é zero. Assim temos:

D - 1 D + 1 2 D 2 + 2 D + 2 D 2 D 2 + 2 D + 2 y   = 0

Como os operadores lineares são comutativos e associativos, então:

D 2 D - 1 D + 1 2 D 2 + 2 D + 2 2 y   = 0

Portanto, determina-se que  y t  é uma solução da equação homogênea encontrada acima. Temos que equação homogênea tem a solução é dada por

y t = c 1 + c 2 t + c 3 e t + c 4 e - t + c 5 t e - t + c 6 e - t cos ⁡ t + c 7 t e - t cos ⁡ t + c 8 e - t sen ⁡ t + c 9 t e - t sen ⁡ t

Mas, temos que 1 ,   t ,   e - t cos ⁡ t ,   e - t sen ⁡ t , são as soluções da equação homogênea

D 2 D 2 + 2 D + 2 y = 0

e, portanto, não podemos fazer parte da solução particular. Assim, ao eliminar termos duplicados por meio do ajuste

c 1 = c 2 = c 6 = c 8 = 0

 a solução particular da equação

y 4 + 2 y ' ' ' + 2 y ' ' = 3 e t + 2 t e - t + e - t sen ⁡ t

é

y t = c 3 e t + c 4 e - t + c 5 t e - t + c 7 t e - t cos ⁡ t + c 9 t e - t sen ⁡ t

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