Enunciado

Se W ( f , g ) é o wronskiano de f e g e se u = 2 f - g , v = f 2 g , encontre o wronskiano de u e v em função de W ( f , g ) .

Passo 1

O wronskiano dado pelo enunciado das funções f e g pode ser escrito em termos da definição:

W f ,   g = d e t f g f ' g ' = f g ' - f ' g

Como u = 2 f - g e v = f + 2 g foram dados, basta calcularmos o wronskiano deles e tentar escrever eles em termos do W f ,   g .

Passo 2

Vamos primeiro resolver o determinante do wronskiano de u e v :

W u ,   v = d e t u v u ' v ' = d e t 2 f - g f + 2 g 2 f ' - g ' f ' + 2 g '

W u ,   v = 2 f - g f ' + 2 g ' - ( f + 2 g ) ( 2 f ' - g ' )

Abrindo os produtos:

W u , v = 2 f f ' + 4 f g ' - g f ' - 2 g g ' - 2 f f ' + f g ' - 4 g f ' + 2 g g '

Os termos onde têm as funções multiplicadas pelas suas derivadas podem ser cancelados, sobrando só:

W u , v = 4 f g ' - g f ' + f g ' - 4 g f '

W u , v = 5 f g ' - 5 g f '

Tirando fator comum:

W u , v = 5 ( f g ' - g f ' )

E o termo entre parêntesis é o próprio wronskiano de f e g , então:

W u , v = 5 W ( f , g )

Pronto, escrevemos W ( u , v ) em função de W ( f , g ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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