Enunciado

O Método dos Aniquiladores. Nos problemas de 20 a 22, consideramos outra maneira de chegar a uma forma adequada para Y ( t ) para usar no método dos coeficientes indeterminados. O procedimento baseia-se na observação de que as funções exponenciais, polinomiais ou senoidais (ou somas e produtos de tais funções) podem ser consideradas como soluções de certas equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. É conveniente usar o símbolo D para d / d t . Então, por exemplo, e - t é uma solução de ( D   +   1 ) y   =   0 ; diz-se que o operador diferencial D   +   1 aniquila e - t , ou é um aniquilador de e - t .

Analogamente, D2 + 4 é um aniquilador de sen ⁡ 2 t   ou cos ⁡ 2 t   , ( D   –   3 ) 2   =   D 2   –   6 D   +   9 é um aniquilador de e 3 t ou t e 3 t , e assim por diante.

21. Considere o problema de encontrar a forma da solução particular Y ( t ) de

D - 2 3 D + 1 Y   =   3 e 2 t - t e - t                                     i

em que a expressão à esquerda do sinal de igualdade na equação está escrita de uma forma que corresponde à fatoração do polinômio característico.

(a) Mostre que D - 2 e D + 1 2 são aniquiladores, respectivamente, das parcelas à direita do sinal de igualdade na Eq. ( i ) e que o operador composto D - 2 D + 1 2 aniquila ambas essas parcelas simultaneamente.

(b) Aplique o operador D - 2 D + 1 2 à Eq. ( i ) e use o resultado do Problema 20 para obter

D - 2 4 D + 1 3 Y = 0                                             i i

Logo, Y é uma solução da equação homogênea ( i i ) . Resolvendo a Eq. ( i i ) , mostre que

Y t = C 1 e 2 t + C 2 t e 2 t + C 3 t 2 e 2 t + C 4 t 3 e 2 t + C 5 e - t + C 6 t e - t + C 7 t 2 e - t                 i i i

em que C 1 ,   .   .   .   ,   C 7 são constantes, ainda indeterminadas.

(c) Note que e 2 t , t e 2 t , t 2 e 2 t e e - t são soluções da equação homogênea associada à Eq. ( i ) ; portanto, essas expressões não servem para resolver a equação não homogênea. Escolha, então, C 1 , C 2 , C 3 e C 5 como zero na Eq. ( i i i ) , de modo que

Y t = C 4 t 3 e 2 t + C 6 t e - t + C 7 t 2 e - t                 i v

Essa é a forma da solução particular Y da Eq. ( i ) . Os valores dos coeficientes C 4 , C 6 e C 7 podem ser encontrados usando a Eq. ( i v ) na equação diferencial ( i ) .

Passo 1

a) Nesta questão, queremos provar que D - 2 é aniquilador de 3 e 2 t e que D + 1 2 é aniquilador de t e - t . Também queremos provar que o operador composto D - 2 D + 1 2 aniquila ambas essas parcelas simultaneamente.

Passo 2

Primeiro vamos provar que D - 2 é aniquilador de 3 e 2 t . Vamos considerar a seguinte equação:

D - 2 3 e 2 t

Temos que o símbolo D é o operador d / d t . Substituindo na equação temos:

d d t - 2 3 e 2 t = d d t 3 e 2 t - 2 × 3 e 2 t = 6 e 2 t - 6 e 2 t = 0

Portanto, temos que

D - 2 3 e 2 t = 0

E assim provamos que D - 2 é aniquilador de 3 e 2 t .

Passo 3

Agora, vamos provar que D + 1 2 é aniquilador de - t e - t . Vamos considerar a seguinte equação:

D + 1 2 - t e - t

Temos que o símbolo D é o operador d / d t . Substituindo na equação temos:

d d t + 1 2 - t e - t = d 2 d t 2 + 2 d d t + 1 - t e - t

= d 2 d t 2 - t e - t + 2 d d t - t e - t + - t e - t

= 2 e - t - t e - t + 2 - e - t + t e - t - t e - t

= 2 e - t - t e - t - 2 e - t + 2 t e - t - t e - t = 0

Portanto, temos que

D + 1 2 - t e - t = 0

E assim provamos que D + 1 2 é aniquilador de - t e - t .

Passo 4

Agora com os dois resultados acima, vamos provar que o operador composto D - 2 D + 1 2 aniquila 3 e 2 t - t e - t

Considere a equação:

D - 2 D + 1 2 3 e 2 t - t e - t

Podemos fazer a distributiva para os termos da equação acima. Assim temos:

D - 2 D + 1 2 3 e 2 t - t e - t

= D - 2 D + 1 2 3 e 2 t + D - 2 D + 1 2 - t e - t

Temos que pelo exercício 20, operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes comutam. Assim temos:

= D + 1 2 D - 2 3 e 2 t + D - 2 D + 1 2 - t e - t

Provamos nos passos anteriores que:

D - 2 3 e 2 t = 0

D + 1 2 - t e - t = 0

Logo, temos a seguinte situação:

D + 1 2 D - 2 3 e 2 t + D - 2 D + 1 2 - t e - t = D + 1 2 0 + D - 2 0 = 0

E assim provamos que D - 2 D + 1 2 é aniquilador de 3 e 2 t - t e - t .

Portanto, a afirmação é comprovada.

Passo 5

b) Agora, vamos aplicar o operador D - 2 D + 1 2 na equação

D - 2 3 D + 1 Y   =   3 e 2 t - t e - t

Aplicamos o operador nos dois dados da equação. Assim temos:

D - 2 D + 1 2 D - 2 3 D + 1 Y   = D - 2 D + 1 2 3 e 2 t - t e - t

Como foi visto na letra (a), o lado direito da equação é zero. Assim temos:

D - 2 D + 1 2 D - 2 3 D + 1 Y   = 0

Como os operadores lineares são comutativos e associativos, então:

D - 2 D - 2 3 D + 1 2 D + 1 Y   = 0

D - 2 4 D + 1 3 Y   = 0

Portanto, determina-se que  Y  é uma solução da equação homogênea.

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação

D - 2 4 D + 1 3 Y   = 0

Temos que as raízes da equação característica são 2 ,   2 ,   2 ,   2 ,   - 1 ,   - 1 ,   - 1 .

Portanto, a solução da equação acima é:

Y t = C 1 e 2 t + C 2 t e 2 t + C 3 t 2 e 2 t + C 4 t 3 e 2 t + C 5 e - t + C 6 t e - t + C 7 t 2 e - t

Os termos  C 1 ,   C 2 ,   C 3 ,   C 4 ,   C 5 ,   C 6 e   C 7 são constantes arbitrárias.

Portanto, a afirmação é comprovada.

Passo 7

c) Vamos considerar a seguinte equação:

D - 2 3 D + 1 Y   =   3 e 2 t - t e - t

Temos que a equação homogênea correspondente é:

D - 2 3 D + 1 Y   = 0

As raízes da equação característica são 2 ,   2 ,   2 ,   - 1 .

Portanto, as funções e 2 t ,   t e 2 t ,   t 2 e 2 t e e - t  são as soluções da equação homogênea. Portanto, os termos não são úteis para resolver equações não homogêneas. Assim, podemos escolher as constantes

C 1 =   C 2 = C 3 = C 5 = 0

Substitua os valores acima na equação

Y t = C 1 e 2 t + C 2 t e 2 t + C 3 t 2 e 2 t + C 4 t 3 e 2 t + C 5 e - t + C 6 t e - t + C 7 t 2 e - t

Temos que a solução particular é a seguinte:

Y t = C 4 t 3 e 2 t + C 6 t e - t + C 7 t 2 e - t

Portanto, a afirmação é comprovada.

Passo 8

Para encontrar a constantes C 4 ,   C 6 e   C 7 , podemos substituir a solução particular na equação

D - 2 3 D + 1 Y   =   3 e 2 t - t e - t

Fazendo isso temos:

D 4 - 5 D 3 + 6 D 2 + 4 D - 8 Y   =   3 e 2 t - t e - t

Y 4 - 5 Y ' ' ' + 6 Y ' ' + 4 Y ' - 8 Y   =   3 e 2 t - t e - t

Temos que

Y t = C 4 t 3 e 2 t + C 6 t e - t + C 7 t 2 e - t

Ao aplicarmos ela na equação diferencial acima e simplificando os resultados temos o seguinte:

C 4 18 e 2 t - C 6 24 e - t - C 7 54 t e - t + C 7 54 e - t = 3 e 2 t - t e - t

Assim temos podemos retiras as seguintes equações dessa igualdade:

C 4 18 e 2 t = 3 e 2 t

- C 7 54 t e - t = - t e - t

- C 6 24 e - t + C 7 54 e - t = 0

Resolvendo as equações, podemos encontrar que:

C 4 = 1 / 6

C 7 = 1 / 54

C 6 = 1 / 24

Resposta

c)

C 4 = 1 / 6

C 7 = 1 / 54

C 6 = 1 / 24

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