Enunciado

Use o método do Exemplo 6 para demonstrar a identidade

2 sen - 1 ⁡ x = cos - 1 ⁡ x 1 - 2 x 2 ,   x ≥ 0 .

Passo 1

Usando o método do Exemplo 6, começaremos derivando:

f x = 2 sen - 1 ⁡ x - cos - 1 ⁡ x 1 - 2 x 2

f ' x = 2 1 - x 2 - 4 x 1 - 1 - 2 x 2 2 = 2 1 - x 2 - 4 x 2 x 1 - x 2 = 0 ,   x ≥ 0

Passo 2

Feito a parte acima, temos que f ' x = 0 para todo x ∈ ( 0,1 ) , então, f x = C em ( 0,1 ) .

Para encontrar C , suporemos um x = 0.5 , portanto:

2 sen - 1 ⁡ 0.5 - cos - 1 ⁡ 0.5 = 2 π 6 - π 3 = 0 = C

Nós concluímos que f x = 0   para x ∈ ( 0,1 ) . Pela continuidade de f , f x = 0 em [ 0,1 ] .

Além disso, nós vemos que:

f x = 2 sen - 1 ⁡ x - cos - 1 ⁡ x 1 - 2 x 2 = 0 → 2 sen - 1 ⁡ x = cos - 1 ⁡ x 1 - 2 x 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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