Enunciado

Use o Método de Newton para aproximar todos os valores reais de y que satisfazem a equação dada para o valor de x indicado.

x y 4 + x 3 y = 1 ;     x = 1

Passo 1

Fala aí!! Tudo joia?

Olha só, a questão quer o valor da equação para x = 1 . Então a primeira coisa que a gente faz é jogar esse valor no lugar de x na expressão:

1 y 4 + 1 3 y = 1

y 4 + y = 1

y 4 + y - 1 = 0

Agora o nosso trabalho é achar as raízes dessa equação. Aí é que entra o Método de Newton...

Passo 2

Se liga nesse gráfico pra ver as raízes:

Então a gente tem uma raiz ali perto de x = - 1 e outra perto de x = 1 . Show! Vamos pro método agora...

Passo 3

Para usar o método de Newton, a gente faz:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos precisar derivar:

f ' y = 4 y 3 + 1

Vamos começar pela y = - 1 .

A gente joga na fórmula agora:

y 2 = - 1 - - 1 4 + - 1 - 1 4 - 1 3 + 1 = - 1,333

y 3 = - 1,236

y 4 = - 1,22

Beleza, pro primeiro ponto a gente pode usar essa aproximação de y = - 1,22 .

Passo 4

Vamos ver o segundo ponto agora. Partimos de y 1 = 1 :

y 2 = 1 - 1 4 + 1 - 1 4 1 3 + 1 = 0,8

y 3 = 0,7312

y 4 = 0,72

E belezinha! Vamos parar por aqui.

Os valores de y que satisfazem a equação lá de cima são aproximadamente y = - 1,22   e   y = 0,72 . 😸

Resposta

- 1,22   e   0,72

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