Enunciado

Use qualquer método para encontrar a área da região delimitada pelas curvas.

y = 9 x 2 - 4 ,     y = 0 ,     x   = 2

Passo 1

Para calcular a região entre curvas precisamos montar a integral:

A = ∫ a b f m a i o r - f m e n o r d x

E achar o valor dela. Vamos lá!

Passo 2

Vamos olhar nossa região em um gráfico:

Vemos que a função maior é y = 9 x 2 - 4 , a menor é y = 0 , e um dos extremos de integração é x = b = 2 .

Para descobrir o outro, precisamos achar a interseção entre a raiz e o eixo x :

9 x 2 - 4 = 0 ∴ x = 2 3 = a

Nossa integral fica então com essa carinha:

A = ∫ 2 3 2 9 x 2 - 4 d x

Passo 3

Agora é só calcular. Vamos usar a Fórmula 73 da tabela de integrais:

∫ u 2 - a 2 d u = u 2 u 2 - a 2 - a 2 2 ln ⁡ u + u 2 - a 2 + C

Vamos rearrumar nossa integral, tirando o 9 do lado do x :

A = 3 ∫ 2 3 2 x 2 - 2 3 2 d x

Fazendo:

u = x ,     a = 2 3

Nossa integral fica:

A = 3 ∫ 2 3 2 x 2 - 2 3 2 d x = 3 2 x x 2 - 2 3 2 - 6 9 ln ⁡ x + x 2 - 2 3 2 | 2 2 3

Fazendo essas continhas, temos que:

A = 4,48 168

Prontinho!

Resposta

A = 4,48168

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