Enunciado

Um aluno quer encontrar a área delimitada pelos gráficos de y = 1 1 - x 2 ,   y = 0 ,   x = 0   e   x = 0,8 .

a) Mostre que a área exata é a r c   s e n   0,8 .

b) O aluno usa uma calculadora para aproximar o resultado da parte a) até a segunda casa decimal e obtém a resposta incorreta de 53,13 . Qual foi o erro dele? Encontre a aproximação correta.

Passo 1

a) Então galera, antes de escrevermos uma integral para resolver nosso problema, primeiro seria interessante esboçar o gráfico da região em questão para podermos visualizar com mais facilidade a área que estamos trabalhando. Nossa função é:

y = 1 1 - x 2

E o intervalo é: 0 ; 0,8 . Sendo assim, teremos:

Então a área que queremos descobrir é essa abaixo da curva vermelha, no qual é limitada pelo intervalo dado e y = 0 . Show!

Passo 2

Escrevendo nossa integral:

A = ∫ 0 0,8 1 1 - x 2 d x

Mas como resolvemos essa integral, galera? O resultado dessa integral é tabelado, então não precisamos nos preocupar, ok? A resposta é essa aqui:

∫ 0 0,8 1 1 - x 2 d x = a r c   s e n 0,8 0

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1), teremos:

a r c   s e n 0,8 0 = a r c   s e n   0,8 - a r c   s e n   0

a r c   s e n 0,8 0 = a r c   s e n   0,8

Logo:

A = a r c   s e n   0,8   u . a

E essa é nossa área, assim como o enunciado indica!

Passo 3

b) Então galera, se utilizarmos uma calculadora para calcular a r c   s e n   0,8 encontraremos, de fato, 53,13 (aproximando para duas casas decimais). No entanto, esse é o valor da área em graus! Onde já se viu uma área medida em graus, galera? A resposta certa seria em radianos que, convertendo, seria:

A = 0,93   u . a

E essa é a aproximação correta! 😉

Resposta

a) A = a r c   s e n   0,8   u . a

b) Aproximação correta: 0,93 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

69. A maioria das calculadoras científicas tem teclas para lo g 10 ⁡ x e ln ⁡ x . Para determinar logaritmos de outras bases, usamos a equação log a ⁡ x = ln ⁡ x ln ⁡ a . Determine os seguintes logari
69. A maioria das calculadoras científicas tem teclas para lo g 10 ⁡ x e ln ⁡ x . Para determinar logaritmos de outras bases, usamos a equação log a ⁡ x = ln ⁡ x ln ⁡ a . Determine os seguintes logari
69. A maioria das calculadoras científicas tem teclas para lo g 10 ⁡ x e ln ⁡ x . Para determinar logaritmos de outras bases, usamos a equação log a ⁡ x = ln ⁡ x ln ⁡ a . Determine os seguintes logari
70. Fatores de conversão.b. Mostre que a equação para converter logaritmos de base a em logaritmos de base b é: log b ⁡ x = ln ⁡ a ln ⁡ b log a ⁡ x
69. A maioria das calculadoras científicas tem teclas para lo g 10 ⁡ x e ln ⁡ x . Para determinar logaritmos de outras bases, usamos a equação log a ⁡ x = ln ⁡ x ln ⁡ a . Determine os seguintes logari