Enunciado

Use um recurso gráfico computacional para gerar os gráficos de f ' e de f ' ' no intervalo indicado e, então, use-os para estimar as coordenadas x dos extremos relativos de f . Verifique se as suas estimativas estão de acordo com o gráfico de f .

f x = x 4 - 24 x 2 + 12 x ,     - 5 ≤ x ≤ 5

Passo 1

Para achar os pontos relativos de f x vamos encontrar a primeira derivada:

f ' x = 4 x 4 - 1 - 24 ⋅ 2 ⋅ x 2 - 1 + 12 x 1 - 1 = 4 x 3 - 48 x + 12 x 0 = 4 x 3 - 48 x + 12 ⋅ 1 =

= 4 x 3 - 48 x + 12

Vamos fazer o gráfico:

Temos que os zeros da função são em:

x = - 3,583

x = 0,251

x = 3,332

Passo 2

Agora vamos usar o teste da segunda derivada, vamos calcular f ' ' x :

f ' ' x = 4 ⋅ 3 ⋅ x 3 - 1 - 48 x 1 - 1 + 0 = 12 x 2 - 48 x 0 = 12 x 2 - 48 ⋅ 1 = 12 x 2 - 48

Vamos usar o Teste da Derivada Segunda:

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 > 0 , então f tem um mínimo relativo em x 0 .

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 < 0 , então f tem um máximo relativo em x 0 .

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 = 0 , então o teste é inconclusivo, isto é, f pode ter um máximo ou mínimo relativo em x 0 ou nenhum dos dois.

Vamos então analisar os sinais nos pontos críticos:

Em x = 0,251 a segunda derivada é negativa, assim pelo Teste da Derivada Segunda temos que é um máximo relativo.

E em   x = - 3,583 e x = 3,332 a segunda derivada é positiva, então são mínimos relativos.

Passo 3

Vamos agora conferir pelo gráfico de f :

Por ele conseguimos ver que temos que x = 0,251 é um máximo relativo e x = - 3,583 e x = 3,332 são mínimos relativos.

Resposta

x = 0,251 é um máximo relativo e x = - 3,583 e x = 3,332 são mínimos relativos

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Faça um esboço do gráfico de uma função f que passa pelos pontos c , f c , d , f d , e , f e , se as condições dadas forem satisfeitas. Trace também um segmento da reta tangente em cada um desses pont
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