Enunciado

Use as desigualdades (12), (13) e (14) para encontrar um número n de subintervalos para a aproximação (a) pelo ponto médio M n e (b) trapezoidal T n e (c) pela regra de Simpson S n que garanta que o erro absoluto seja menor que o valor dado.

Exercício 5: 10 - 4

∫ 1 3 e - 2 x d x

Passo 1

A ideia aqui é calcular o valor de n usando essas fórmulas:

E M ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

E T ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

E S ≤ b - a 5 k 4 180 n 4

Como o enunciado já dá o valor do limitante superior do erro, é só a gente substituir esse valor e isolar o n , para cada caso. Vamos lá!

Passo 2

(a) Precisamos avaliar o n para a aproximação pelo método do ponto médio, então vamos usar

E M ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

Onde K 2 é o valor máximo de f ' ' x no intervalo da integral.

Temos que:

f x = e - 2 x

Derivando duas vezes:

f ' x = - 2   e - 2 x ,   f ' ' x = 4   e - 2 x  

Dentro do intervalo 1,3 , o maior valor em módulo de e é quando o expoente é maior, ou seja, onde x é menor, já que o expoente é negativo. Aí vemos que:

K 2 = f ' ' 1 = 4   e - 2

Passo 3

Como queremos estimar o número de subintervalos n para que E M = 10 - 4 , com a = 1 e b = 3 , nossa inequação fica:

10 - 4 ≤ 3 - 1 3 4   e - 2 24 ⋅ n 2

Isolando n :

24 × 10 - 4 2 3 4   e - 2 ≤ 1 n 2 ∴ 24 × 10 - 4 2 3 4   e - 2 - 1 2 ≤ n ∴ n ≥ 42,48

Como n é inteiro, ele deve ser:

n = 43

Passo 4

(b) Precisamos avaliar o n para a aproximação pelo método trapezoidal, então vamos usar

E T ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

Onde K 2 é o valor máximo de f ' ' x no intervalo da integral.

Já vimos que:

K 2 = 4   e - 2

Como queremos estimar o número de subintervalos n para que E T = 10 - 4 , com a = 1 e b = 3 , nossa inequação fica:

10 - 4 ≤ 3 - 1 3 4   e - 2 12 ⋅ n 2

Isolando n :

12 × 10 - 4 2 3 4   e - 2 ≤ 1 n 2 ∴ 12 × 10 - 4 2 3 4   e - 2 - 1 2 ≤ n ∴ n ≥ 60,1

Como n é inteiro, ele deve ser:

n = 61

Passo 5

(c)Precisamos avaliar o n para a aproximação pela regra de SImpson, então vamos usar

E S ≤ b - a 5 K 4 180 n 4

Onde K 4 é o valor máximo de f ( 4 ) x no intervalo da integral.

Temos que:

f ' ' ( x ) = 4   e - 2 x

Derivando duas vezes:

f ' ' ' x = - 8   e - 2 x ,   f 4 x = 16 e - 2 x  

Dentro do intervalo 1,3 , o maior valor em módulo de e é quando o expoente é maior, ou seja, onde x é menor, já que o expoente é negativo. Aí vemos que:

K 4 = f 4 1 = 16 e - 2

Passo 6

Como queremos estimar o número de subintervalos n para que E S = 10 - 4 , com a = 1 e b = 3 , nossa inequação fica:

10 - 4 ≤ 3 - 1 5 16 e - 2 180 ⋅ n 4

Isolando n :

180 × 10 - 4 2 5 16 e - 2 ≤ 1 n 4 ∴ 180 × 10 - 4 2 5 16 e - 2 - 1 4 ≤ n ∴ n ≥ 7,9

Para a regra de Simpson, n dever ser inteiro par, por isso:

n = 8

Resposta

a   n = 43

b   n = 61

c   n = 8

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