Enunciado

(a) Use o recurso de traçar gráficos implícitos de um CAS para esboçar o gráfico da curva C cuja equação é x 3   -   2 x y   +   y 3   =   0 .

(b) Use o gráfico de (a) para estimar a coordenada x de um ponto do primeiro quadrante que está em C e no qual a reta tangente a C é paralela ao eixo x .

(c) Encontre o valor exato da coordenada x em (b).

Passo 1

(a) Vamos usar aqui a calculadora CAS do Geogebra (dá para acessar pelo navegador) para esboçar esse gráfico aí.

Colocando a equação do enunciado lá, temos esse gráfico aqui:

Passo 2

(b) Escolher um ponto onde a reta tangente é paralela ao eixo x é o mesmo que escolher um ponto onde o gráfico da nossa função está mais na horizontal.

A gente pode escolher esse ponto aqui:

Onde:

P = ( 0.85 ,   1.058 )

Nossa estimativa é:

x ≈ 0,85

Passo 3

(c) Para estimar o valor exato da coordenada desse ponto, a gente vai precisar achar o valor de x onde a reta tangente é paralela ao eixo x .

Que é o mesmo que achar o ponto onde o coeficiente angular da reta é nulo:

m = d y d x = 0

E para achar m precisamos derivar a nossa equação implicitamente.

Vamos lá!

Passo 4

Derivando nossa equação dos dois lados:

d d x x 3 - d d x 2 x y + d d x y 3 = d d x 0

Como y é uma função de x , em x y temos um produto de funções e em y x 3 temos uma função composta, por isso a gente precisa usar a regra do produto e a regra da cadeia:

3 x 2 - 2 ⋅ y + 2 x d y d x + 3 y 2 d y d x = 0

Agora isolamos d y / d x para achar m :

3 x 2 - 2 y - 2 x d y d x + 3 y 2 d y d x = 0 ∴ 2 x d y d x + 3 y 2 d y d x = - 3 x 2 + 2 y

- 2 x + 3 y 2 d y d x = - 3 x 2 + 2 y

m = d y d x = - 3 x 2 + 2 y - 2 x + 3 y 2

Passo 5

Precisamos descobrir x que resulta em m = 0 :

m = - 3 x 2 + 2 y - 2 x + 3 y 2 = 0

- 3 x 2 + 2 y = 0 ∴ y = 3 x 2 2

Então nosso ponto está dentro dessa parábola, dentro da equação do enunciado e no primeiro quadrante. Vamos jogar y = 3 x 2 / 2 na nossa equação:

y = 3 x 2 2 ,     x 3 - 2 x y + y 3 = 0

x 3 - 3 x 3 + 27 8   x 6 = 0

Resolvendo para x :

x 3 - 2 + 27 8 x 2 = 0

x = 0

- 2 + 27 8 x 2 = 0 ∴ x = 16 27

Como a gente quer a solução diferente de zero:

x = 2 4 3 3

Resposta

  1. x ≈ 0,85
  2. x = 2 4 3 3
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