Encontre d^2y/dx^2 por derivação implícita.

y + sen(y) = x

Passo 1

Bom galera, vamos começar derivando uma vez tudo, assim a gente fica:

y + sin ⁡ y = x

→ d d x y + d d x sin ⁡ y = d d x x

→ d y d x + cos ⁡ y d y d x = 1

Vamos colocar d y / d x em evidência:

→ d y d x 1 + cos ⁡ y = 1

Logo, temos:

→ d y d x = 1 1 + cos ⁡ y

Passo 2

Belezinha, agora derivamos denovo com a regra do produto:

d y d x = 1 1 + cos ⁡ y

→ d 2 y d x 2 = - sin ⁡ y 1 + cos ⁡ y 2 ⋅ d y d x

Passo 3

Show de bola, a gente pode substituir d y d x pelo que já encontramos no passo 1:

d 2 y d x 2 = - sin ⁡ y 1 + cos ⁡ y 2 ⋅ d y d x

→ d 2 y d x 2 = - sin ⁡ y 1 + cos ⁡ y 2 ⋅ 1 1 + cos ⁡ y

→ d 2 y d x 2 = - sin ⁡ y 1 + cos ⁡ y 3

Resposta

d 2 y d x 2 = - sin ⁡ y 1 + cos ⁡ y 3

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