Use o resultado do Exercício 51 para provar que lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x x = 1 .

Passo 1

Substituindo x   p o r   x + 1 e dividindo todos os termos por x temos:

1 - 1 1 + x < l n x + 1 < x x + 1 - 1 x + 1 < ln ⁡ x + 1 < x x x + 1 < ln ⁡ x + 1 < x x x x + 1 < ln ⁡ x + 1 x < x x 1 x + 1 < ln ⁡ x + 1 x < 1

Passo 2

Sabemos que lim x → 0 ⁡ 1 x + 1 = 1 e lim x → 0 ⁡ 1 = 1 , então podemos achar o valor do lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x x utilizando o teorema do confronto. O teoremoa do confronto se refere a função cujo os valores estão limitados entre duas outras funções. Suponha que g x < f x < h ( x ) para qualquer x em uma intervalo aberto contendo c, exceto em x=c (pois não nos interessa o valor quando x=c quando calculamos limites, apenas o valor que a função irá assumir quando os valores se aproximarem cada vez mais dele). Suponha também que lim x → c ⁡ g ( x ) = lim x → c ⁡ h ( x ) = L . Então, lim x → c ⁡ f x = L .

Tendo esse teorema na cabeça, vamos aplicá-lo na nossa questão! lim x → 0 ⁡ 1 x + 1 < lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x + 1 x < lim x → 0 ⁡ 1 1 < lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x + 1 x < 1 Logo, lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x x = 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados