Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = 2 x^5 - 5 x^2 + 1

Passo 1

Vamos usarmos o roteiro de esboço de curvas dado na seção para esboçar o gráfico da função dada. Teremos que achar as raízes, interseções com eixos, analisar intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade e limites no infinito.

Passo 2

Como se trata de um polinômio, o domínio é real: D_f = R .

Passo 3

Vamos achar as interseções com os eixos x e y . Para encontrar a interseção com o eixo y , basta fazer x = 0 , assim y = 1 . Para achar as raízes da função:

2 x^5 - 5 x^2 + 1 = 0

Como essa é uma equação de difícil resolução, não vamos nos preocupar em achar as raízes. Assim, a única interseção imediata que achamos foi ( 0,0 ) .

Passo 4

Como a função tem expoentes pares e ímpares, ela não nem par nem ímpar.

Passo 5

Como é um polinômio, y não tem assíntotas. Os limites no infinito são:

underset(x -> - oo)(lim) 2 x^5 - 5 x^2 + 1 = - oo

underset(x -> oo)(lim) 2 x^5 - 5 x^2 + 1 = + oo

Passo 6

Para a análise do crescimento da função, vamos calcular sua derivada:

y^' = 10 x^4 - 10 x = 10 x (x^3 - 1) = 10 x (x - 1) ( x^2 + x + 1 )

*Usei que a^3 - b^3 = (a - b) ( a^2 + a b + b^2 ) .

Como (x^2 + x + 1)^2 > 0 , segue que:

Assim, x = 0 é um ponto de máximo local e x = 1 é ponto de mínimo local. Como temos que f (0) = 1 e f (1) = - 2 , segue que: (0,1) é máximo local e ( 1 , - 2 ) é mínimo local.

Passo 7

Para a concavidade, precisamos derivar novamente:

y^(' ') = 40 x^3 - 10 = 10 ( 4 x^3 - 1 )

Assim, com o a única raiz de 4 x^3 - 1 = 0 é x = 1 // root(3)(4) , temos que

Resposta

Esboço da curva:

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