Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = x sqrt(5 - x)

Passo 1

Nós temos a função y = f (x) = x sqrt(5 - x)

Passo 2

  1. Nosso primeiro passo é calcular o domínio. Como nossa raiz não pode ser negativa, temos que:
  2. 5 - x >= 0

    5 >= x

    x <= 5

    Assim, o domínio é {x| x <= 5 } = ( - oo , 5 ] .

  3. Agora precisamos achar os interceptos. Intercepto y : f (0) = 0 ; intercepto x : f (x) = 0 , então: x^2 (5 - x) = 0 -> x = 0 ou x = 5 .
  4. f ( - x ) != f ( x ) , então a curva não é simétrica.
  5. Não há assíntotas.
  6. Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento:
  7. f (x) = x (5 - x)^((1)/(2))

    f^' (x) = 1 (5 - x)^((1)/(2)) + x (1)/(2) (5 - x)^((1)/(2)) (- 1) = (1)/(2) (5 - x)^((1)/(2)) [- x + 2 (5 - x)]

    f^' (x) = (10 - 3 x)/(2 sqrt(5 - x)) > 0

    x < (10)/(3)

    Sendo assim, f cresce em (- oo , (10)/(3)) , e decresce em ((10)/(3) , 5) .

  8. Como a função cresce depois decresce, há um valor de máximo local em (10)/(3) .
  9. f ((10)/(3)) = (10)/(9) sqrt(15) tildetilde 4,3

  10. Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda:
  11. f^(' ') (x) = (2 (5 - x)^((1)/(2)) (- 3) - (10 - 3 x) 2 ((1)/(2)) (5 - x)^(- (1)/(2)) (- 1))/((2 sqrt(5 - x))^2)

    f^(' ') (x) = ((5 - x)^(- (1)/(2)) [ - 6 (5 - x) + (10 - 3 x) ])/(4 ( 5 - x )) = (3 x - 20)/(4 ( 5 - x )^((3)/(2)))

    f^(' ') (x) < 0 para x < 5 , assim, a função tem concavidade para baixo em ( - oo , 5 ) , e não possui ponto de inflexão,

    Passo 3

  12. Esboço da função:

Resposta

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