Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = 2 - 15 x + 9 x^2 - x^3

Passo 1

Vamos usarmos o roteiro de esboço de curvas dado na seção para esboçar o gráfico da função dada. Precisamos achar a primeira e segunda derivada para analisar crescimento e concavidade, procurar as interseções com eixos, etc...

Passo 2

Como se trata de um polinômio, o domínio é real: D_f = R .

Passo 3

Vamos achar as interseções com os eixos x e y . Para o ponto que corta o eixo y , basta tomar x = 0 , assim, y = 2 . Vemos então que a curva passa pelo ponto ( 0,2 ) . Para as interseções com o eixo x , fazemos y = 0 , assim

2 - 15 x + 9 x^2 - x^3 = 0

Essa é uma equação complica de resolver, então vamos abdicar de tentar achá-las. Assim, a única interseção que achamos de forma simples foi ( 0,2 ) .

Passo 4

Note que y tem expoentes pares e ímpares de x , assim ela não é nem par nem ímpar. A função não tem nenhum tipo de simetria.

Passo 5

Como se trata de um polinômio, y não tem assíntotas:

underset(x -> - oo)(lim) 2 - 15 x + 9 x^2 - x^3 = + oo

underset(x -> oo)(lim) 2 - 15 x + 9 x^2 - x^3 = - oo

Passo 6

Para estudarmos os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos derivar y :

y^' = - 15 + 18 x - 3 x^2 = - 3 (x^2 - 6 x + 5) = - 3 ( x - 1 ) ( x - 5 )

*Como x^2 - 6 x + 5 = 0 tem raízes x = 1 e x = 5 , temos que x^2 - 6 x + 5 = (x - 1) ( x - 5 ) .

Desta forma,

Assim, x = 1 é ponto de mínimo local e x = 5 é ponto de máximo local.

Mínimo local: ( 1 , - 5 ) ; máximo local: ( 5,27 ) .

Passo 7

Para a concavidade, precisamos da segunda derivada:

y^(' ') = 18 - 6 x = 6 ( 3 - x )

Assim,

Como f (3) = 11 , o ponto ( 3,11 ) é um ponto de inflexão.

Resposta

Esboço da curva:

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