Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.5 - Ex. 30
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva
Passo 1
Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.
Repare que não temos nenhuma restrição. Assim, o domínio da nossa função será .
Passo 2
Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos.
Se :
Se
Logo,
Então, temos:
Passo 3
Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:
Vamos ver como fica o :
Logo,
Como , então nossa função é par, isto é, a curva será simétrica com relação ao eixo .
Passo 4
Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.
- Assíntota horizontal:
Quando , podemos considerar o desprezível. Logo,
Fazendo a mesma simplificação para :
Passo 5
Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar .
Assim,
Isto é,
Para :
Resolvendo a inequação:
ou
Logo, nossa curva será crescente no intervalo e
Para :
Resolvendo:
ou
Assim, vemos que a curva será decrescente no intervalo e
Passo 6
Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer :
O único cuidado que devemos tomar é garantir que o denominador será diferente de . Assim,
Logo,
Resolvendo, temos o seguinte:
Portanto,
ou
Isto é,
Como , o único ponto de inflexão será em .
Passo 7
Agora vamos analisar a concavidade no ponto . Para isso, vamos ver o sinal de nesse ponto. Como , temos:
Derivando,
Pra finalizar, basta ver o sinal de
concavidade para cima.
Para acharmos a resposta, basta esboçarmos o gráfico usando as informações acima.