Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva

y = root(3)((x^2 - 1)^2)

Passo 1

Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.

y = root(3)((x^2 - 1)^2)

Repare que não temos nenhuma restrição. Assim, o domínio da nossa função será x in R .

Passo 2

Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos.

f ( x ) = root(3)((x^2 - 1)^2)

Se x = 0 :

f ( 0 ) = 1

Se f ( x ) = 0

root(3)((x^2 - 1)^2) = 0

Logo,

x^2 - 1 = 0 -> x = +- 1

Então, temos:

f (- 1) = f (1) = 0

Passo 3

Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:

f (x) = root(3)((x^2 - 1)^2)

Vamos ver como fica o f ( - x ) :

f (- x) = root(3)(((- x)^2 - 1)^2)

Logo,

f (- x) = root(3)((x^2 - 1)^2)

Como f (x) = f ( - x ) , então nossa função é par, isto é, a curva será simétrica com relação ao eixo y .

Passo 4

Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.

  1. Assíntota horizontal:

L = underset(x -> oo)(lim) root(3)((x^2 - 1)^2)

Quando x -> oo , podemos considerar o - 1 desprezível. Logo,

L = underset(x -> oo)(lim) x root(3)(x) -> L = oo

Fazendo a mesma simplificação para x -> - oo :

L = underset(x -> - oo)(lim) x root(3)(x) -> L = - oo

Passo 5

Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar f ' ( x ) .

f (x) = root(3)((x^2 - 1)^2)

Assim,

f^' (x) = (1)/(3 root(3)((x^2 - 1)^4)) * [2 * (x^2 - 1)] * (2 x)

Isto é,

f^' (x) = (4 x (x^2 - 1))/(3 root(3)((x^2 - 1)^4))

Para f^' (x) > 0 :

(4 x (x^2 - 1))/(3 root(3)((x^2 - 1)^4)) > 0

Resolvendo a inequação:

- 1 < x < 0 ou x > 1

Logo, nossa curva será crescente no intervalo - 1 < x < 0 e x > 1

Para f^' (x) < 0 :

(4 x (x^2 - 1))/(3 root(3)((x^2 - 1)^4)) < 0

Resolvendo:

x < - 1 ou 0 < x < 1

Assim, vemos que a curva será decrescente no intervalo x < - 1 e 0 < x < 1

Passo 6

Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer f^' (x) = 0 :

f^' (x) = (4 x (x^2 - 1))/(3 root(3)((x^2 - 1)^4))

O único cuidado que devemos tomar é garantir que o denominador será diferente de 0 . Assim,

3 root(3)((x^2 - 1)^4) != 0 -> x != +- 1

Logo,

(4 x (x^2 - 1))/(3 root(3)((x^2 - 1)^4)) = 0

Resolvendo, temos o seguinte:

x (x^2 - 1) = 0

Portanto,

x = 0 ou x^2 - 1 = 0

Isto é,

x^2 - 1 = 0 -> x = +- 1

Como x != +- 1 , o único ponto de inflexão será em x = 0 .

Passo 7

Agora vamos analisar a concavidade no ponto x = - (1)/(4) . Para isso, vamos ver o sinal de f ' ' nesse ponto. Como x < 0 , temos:

f^' (x) = (4 x (x^2 - 1))/(3 root(3)((x^2 - 1)^4))

Derivando,

f^(' ') (x) = (4 (x^2 - 3))/(9 root(3)((x^2 - 1)^4))

Pra finalizar, basta ver o sinal de f ' ' ( 0 )

f^(' ') (0) < 0 -> concavidade para cima.

Para acharmos a resposta, basta esboçarmos o gráfico usando as informações acima.

Resposta

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