Enunciado

Cada um dos Exercícios 59-80 fornece a primeira derivada de uma função contínua y = f(x). Determine y" e então use os passos 2-4 do procedimento para construção de gráficos da página 237 para esboçar a forma geral do gráfico de f.

80-

y ' = - x 2 ,           x ≤ 0

y ' = x 2 .   x > 0

Passo 1

Fazendo as duas equações de y ' serem iguais a 0 nós temos:

- x 2 = 0 → x = 0

x 2 = 0 → x = 0

Porém em x = 0 uma função termina enquanto a outra começa, além de ser o limiar para a troca de sinal das duas funções então nada poderemos afirmar sobre esse ponto, devemos analisar esse ponto separadamente para ver o que ela realmente é.

Passo 2

Derivando as duas equações nós temos:

y ' ' = - 2 x ,       x ≤ 0

y ' ' = 2 x .       x > 0

Como temos que analisar o ponto x = 0 e esse ponto faz com que y ' ' seja 0 realmente não tem como afirmar nada sobre esse ponto. Podendo ser ponto de máximo, mínimo, inflexão, singularidade... Qualquer coisa.

Passo 3

Vamos separar nossos intervalos para que a função fique mais clara:

Pontos de teste: -1 , 1

Como os dois intervalos tem concavidade para cima e a função para x negativo decresce e para x positivo ela cresce. Então x = 0 só pode ser ponto de mínimo local.

Resposta

y ' ' = - 2 x ,       x ≤ 0

y ' ' = 2 x .       x > 0

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