Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 70
Use o roteiro para esboçar o gráfico da curva. No passo D, ache a equação para assíntota oblíqua.
Passo 1
O primeiro passo (A) é determinar o domínio da função. Ou seja, os pontos onde não há problema, nesse caso, como a função está bem definida em qualquer ponto (não estaríamos dividindo algum termo por zero, por exemplo), temos:
Passo 2
O segundo passo (B) é encontrar as interseções com os eixos coordenados.
Com o eixo :
Não intercepta o eixo .
Passo 3
O terceiro passo (C) é determinar a simetria, ou seja, se a função é par ou ímpar. No nosso caso, a função não é par e nem ímpar, pois para temos que . Logo, nossa função é antissimétrica.
Passo 4
O quarto passo (D) é encontrar as assíntotas.
Percebe-se que como está bem definida, então não temos assíntotas verticais.
Agora, precisamos achar a assíntota obliqua.
Como,
Temos uma soma entre a equação de uma reta com uma função.
Daí,
Então a reta é a assíntota obliqua.
Passo 5
Vamos para o passo (E). Ou seja, achar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente além de nossos candidatos a máximo e mínimo.
Para isso, façamos:
Perceba que:
Então é crescente em e decrescente fora, ou seja, em . (você pode testar isso, atribuindo valores para .)
Passo 6
No passo (F), devemos usar o teste da primeira derivada. Ou seja, achar os máximos e mínimos, se eles existirem.
Como sai de decrescente para crescente em o ponto mínimo local é:
Não existe máximo.
Passo 7
Vamos ao penúltimo passo, o (G). Aqui devemos analisar a concavidade da função, para isso façamos:
Temos que para qualquer , ou seja, é sempre côncava para cima. (você pode testar isso atribuindo valores para .)
Passo 8
Aqui vamos juntar todos os passos, ou seja, vamos desenhar o gráfico.
Resposta
Portanto, o esboço dessa função é:
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