Enunciado

Use a série binomial para expandir a função como uma série de Maclaurin e para encontrar os três primeiros polinômios de Taylor, T 1 , T 2 e T 3 . Plote a função e esses polinômios de Taylor no intervalo de convergência

f x = 1 + 4 x 3

Passo 1

Vamos começar relembrando como podemos escrever uma série binomial. Portanto, seja f x = 1 + x k , então,

f x = 1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

Portanto, nosso primeiro passo é escrever a função da questão como esta função f , identificando cada um dos termos. Logo,

f x = 1 + 4 x 3

Agora, vamos substituir os valores k = 1 / 3 e no lugar de x colocar 4 x na série.

f x = ∑ n = 0 ∞ 1 3 n 4 x n

Agora, precisamos expandir esse termo binomial e descobrir o padrão.

Passo 2

Vamos começar a expandir o termo binomial e entender o padrão dele.

1 3 0 = 1

1 3 1 = 1 3 1 = 1 3

1 3 2 = 1 3 ⋅ 1 3 - 1 2 = - 1 ⋅ 2 3 2 ⋅ 2 ⋅ 1

1 3 3 = 1 3 ⋅ 1 3 - 1 ⋅ 1 3 - 2 3 ⋅ 2 = 1 ⋅ 2 ⋅ 5 3 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

1 3 4 = 1 3 ⋅ 1 3 - 1 ⋅ 1 3 - 2 ⋅ 1 3 - 3 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = - 1 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 8 3 4 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

1 3 5 = 1 3 ⋅ 1 3 - 1 ⋅ 1 3 - 2 ⋅ 1 3 - 3 ⋅ 1 3 - 4 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 1 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ 11 3 5 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

Portanto, o padrão para n ≥ 2 é:

1 3 n = - 1 n - 1 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ … ⋅ 3 n - 4 3 n ⋅ n !

Sendo assim, a nossa série é

f x = ∑ n = 0 ∞ 1 3 n 4 x n = 1 + 4 x 3 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ … ⋅ 3 n - 4 3 n ⋅ n ! 4 x n

f x = 1 + 4 x 3 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ … ⋅ 3 n - 4 3 n ⋅ n ! 4 n x n

E esta é a nossa série.

Passo 3

Como o intervalo de convergência é - 1 4 ≤ x ≤ 1 4 , vamos obter os plots em torno deste intervalo. Utilizando softwares para nos auxiliar, temos:

Resposta

f x = 1 + 4 x 3 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ … ⋅ 3 n - 4 3 n ⋅ n ! 4 n x n

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