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Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências. Estabeleça o raio de convergência.

f x = 1 - 8 x 4

Passo 1

Vamos começar relembrando como podemos escrever uma série binomial. Portanto, seja f x = 1 + x k , então,

f x = 1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

Portanto, nosso primeiro passo é escrever a função da questão como esta função f , identificando cada um dos termos. Logo,

f x = 1 - 8 x 4 = 1 + - 8 x 1 / 4

Agora, vamos substituir os valores k = 1 / 4 e no lugar de x colocar - 8 x na série.

f x = ∑ n = 0 ∞ 1 4 n - 8 x n

Agora, precisamos expandir esse termo binomial e descobrir o padrão.

Passo 2

Vamos começar a expandir o termo binomial e entender o padrão dele.

1 4 0 = 1

1 4 1 = 1 4 1 = 1 4

1 4 2 = 1 4 ⋅ 1 4 - 1 2 = - 3 32

1 4 3 = 1 4 ⋅ 1 4 - 1 ⋅ 1 4 - 2 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 7 2 6 ⋅ 3 ⋅ 2

1 4 4 = 1 4 ⋅ 1 4 - 1 ⋅ 1 4 - 2 ⋅ 1 4 - 3 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = - 3 ⋅ 7 ⋅ 11 2 8 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

1 4 5 = 1 4 ⋅ 1 4 - 1 ⋅ 1 4 - 2 ⋅ 1 4 - 3 ⋅ 1 4 - 4 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 1 5 2 10 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

Portanto, o padrão para n ≥ 2 é:

1 4 n = - 1 n - 1 3 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 4 n - 5 2 n ⋅ n !

Sendo assim, a nossa série é

f x = ∑ n = 0 ∞ 1 4 n - 8 x n = 1 - 2 x + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 3 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 4 n - 5 2 n ⋅ n ! - 8 x n

f x = 1 - 2 x + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 3 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 4 n - 5 2 n ⋅ n ! - 1 n 2 3 n x n

f x = 1 - 2 x - ∑ n = 2 ∞ 3 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 4 n - 5 n ! 2 n x n

E esta é a nossa série.

Passo 3

Para obtermos o raio de convergência podemos utilizar o teste da razão. Sendo assim,

a n + 1 a n = 3 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 4 n - 5 4 n - 1 ⋅ 2 n + 1 x n + 1 n + 1 ! ⋅ n ! 3 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 4 n - 5 ⋅ 2 n ⋅ x n

a n + 1 a n = 4 n - 1 ⋅ 2 x n + 1

Portanto,

lim n → ∞ ⁡ 4 n - 1 ⋅ 2 x n + 1 = 8 x < 1

Desta forma, o raio de convergência é 1 / 8 .

Resposta

f x = 1 - 2 x - ∑ n = 2 ∞ 3 ⋅ 7 ⋅ … ⋅ 4 n - 5 n ! 2 n x n

Raio de convergência igual a 1 / 8 .

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