Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart - Capítulo 11.11 - Ex. 9

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Use a série binomial para expandir a função como uma série de Maclaurin e para encontrar os três primeiros polinômios de Taylor, T 1 , T 2 e T 3 . Plote a função e esses polinômios de Taylor no intervalo de convergência

f x = 1 + 2 x 3 / 4

Passo 1

Vamos começar relembrando como podemos escrever uma série binomial. Portanto, seja f x = 1 + x k , então,

f x = 1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

Portanto, nosso primeiro passo é escrever a função da questão como esta função f , identificando cada um dos termos. Logo,

f x = 1 + 2 x 3 / 4

Agora, vamos substituir os valores k = 3 / 4 e no lugar de x colocar 2 x na série.

f x = ∑ n = 0 ∞ 3 4 n 2 x n

Agora, precisamos expandir esse termo binomial e descobrir o padrão.

Passo 2

Vamos começar a expandir o termo binomial e entender o padrão dele.

3 4 0 = 1

3 4 1 = 3 4 1 = 3 4

3 4 2 = 3 4 ⋅ 3 4 - 1 2 = - 3 ⋅ 1 4 2 ⋅ 2

3 4 3 = 3 4 ⋅ 3 4 - 1 ⋅ 3 4 - 2 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 1 ⋅ 5 4 3 ⋅ 3 ⋅ 2

3 4 4 = 3 4 ⋅ 3 4 - 1 ⋅ 3 4 - 2 ⋅ 3 4 - 3 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = - 3 ⋅ 1 ⋅ 5 ⋅ 9 4 4 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

3 4 5 = 3 4 ⋅ 3 4 - 1 ⋅ 3 4 - 2 ⋅ 3 4 - 3 ⋅ 3 4 - 4 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = - 3 ⋅ 1 ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅ 13 4 5 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

Portanto, o padrão para n ≥ 2 é:

- 1 2 n = - 1 n 1 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 4 n - 7 4 n ⋅ n !

Sendo assim, a nossa série é

f x = ∑ n = 0 ∞ 3 4 n 2 x n = 1 + 3 x 2 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n 1 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 4 n - 7 4 n ⋅ n ! 2 x n

f x = 1 + 3 x 2 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n 1 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 4 n - 7 2 2 n ⋅ n ! 2 n x n

f x = 1 + 3 x 2 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n 1 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 4 n - 7 2 n ⋅ n ! x n

E esta é a nossa série.

Passo 3

Como o intervalo de convergência é - 1 2 ≤ x ≤ 1 2 , vamos obter os plots em torno deste intervalo. Utilizando softwares para nos auxiliar, temos:

Resposta

f x = 1 + 3 x 2 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n 1 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 4 n - 7 2 n ⋅ n ! x n

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