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Use série de potência para resolver a equação diferencial.

y ' - y = 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e devemos resolvê-la usando série de potência. Então vamos supor uma solução do tipo série:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n

A derivada em relação a x é:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1

E vamos substituir na equação diferencial:

∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1 - ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0

Passo 2

A primeira coisa a ser feita para resolver uma equação diferencial por série de potência é igualar os expoentes dos somatórios. Sempre buscando deixa-los na maior potência de x   possível. No nosso caso o maior expoente é do segundo somatório do lado esquerdo, com potência n . Então vamos arrumar o primeiro somatório do lado esquerdo:

∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1

Vamos substituir o índice original n - 1 por n ' . Assim vamos ter n - 1 → n ' , então o n original vai virar n → n ' + 1 :

∑ n ' + 1 = 1 ∞ ( n ' + 1 ) . c n ' + 1 x n ' + 1 - 1

E agora vamos simplificar os índices:

∑ n ' = 0 ∞ ( n ' + 1 ) . c n ' + 1 x n '

E por simplicidade podemos trocar o índice n ' por n novamente. Aqui é só uma mudança de índice, então o nome não importa efetivamente, apenas as somas =)

∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) . c n + 1 x n

E podemos agora podemos substituir novamente na equação:

∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) . c n + 1 x n - ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0

Passo 3

Bom, agora que temos todos os x com a mesma potência, vamos olhar para o início dos somatórios. Todos os dois começam em 0 , então aqui não precisamos fazer nada para ajustar. Assim podemos unir os dois termos em uma única soma:

∑ n = 0 ∞ n + 1 c n + 1 - c n x n = 0

Como x n ≠ 0 , para essa expressão ter validade o termo dentro dos colchetes tem de ser zero:

n + 1 c n + 1 - c n = 0

c n + 1 = c n n + 1

Chegamos à fórmula de recorrência:

  • Para n = 0 :
  • c 1 = c 0 1

  • Para n = 1 :
  • c 2 = c 1 2 = c 0 1 . 1 2

  • Para n = 2 :

c 3 = c 2 3 = c 0 1 . 1 2 . 1 3

Se continuarmos vamos ter sempre:

c n = c 0 n ! ,   n = 0,1 , 2 …

Aqui não tem muito mistério para enxergar a recorrência, é a prática que vai deixar cada vez mais fácil de você identificar o coeficiente certo =)

Passo 4

Beleza! Agora que encontramos o coeficiente c n podemos voltar para o passo 1 e substituir na solução:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n

Como c n = c 0 n ! , então a solução fica:

y x = ∑ n = 0 ∞ c 0 n ! x n = c 0 ∑ n = 0 ∞ x n n !

E saca só! Lembrando lá das séries de Maclaurin identificamos que essa é a série de potência da função e x ! Então a solução final fica:

y x = c 0 e x

Certo! Vamos pra próxima?

Resposta

y x = c 0 e x

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