Enunciado

Use o Teorema do Divegente para calcular ∬ S 2 x + 2 y + z 2 d S onde S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Passo 1

Temos pelo Teorema do Divegente que:

∬ S F . n d S = ∭ E d i v   F d V

Primeiro vamos achar F :

∬ S F . n d S = ∬ S 2 x + 2 y + z 2 d S

Temos então que:

F . n = 2 x + 2 y + z 2

Mas por S ,temos que:

n = x i + y j + z k   x 2 + y 2 + z 2 = x i + y j + z k   1 = x i + y j + z k

Assim, temos que F :

F = P i + Q j + R k

Passo 2

Como temos que:

∬ S F . n d S = ∬ S P x + Q y + R z d S

Vamos comparar isso com:

∬ S 2 x + 2 y + z 2 d S

Vamos ter então que:

P = 2 ,       Q = 2 ,       R = z

Assim achamos:

F = 2 i + 2 j + z k

Passo 3

Vamos agora calcular d i v   F :

d i v   F = ∂ x ∂ x + ∂ y ∂ y + ∂ z ∂ z = 0 + 0 + 1 = 1

Se B = x , y , z , | x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , então:

∬ S 2 x + 2 y + z 2 d S = ∭ B d V = V B = 4 3 π 1 3 = 4 3 π

Resposta

∬ S 2 x + 2 y + z 2 d S = 4 3 π

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